《机械优化设计方法》第2章

主讲教师：张彩丽机械设计制造及其自动化第2章优化设计的数学基础第2章优化设计的数学基础2.1函数的方向导数与梯度2.2函数的泰勒展开式2.3正定二次函数2.4极值条件2.1函数的方向导数与梯度2.1.1函数的方向导数kjfXx偏导数kfXS方向导数2.1.1函数的方向导数011221221221201122122101122122021212lim,,,,lim,,lim,,limcoscoskkkSkkkkkkkkSkkkkSkkkkSkkfXfXSfXSSfxxxxfxxxfxxxfxxSfxxxxfxxxxxSfxxxfxxxxSfXfXxx1212coscoscoskkkknnfXfXfXfXSxxx2.1函数的方向导数与梯度12121212coscoscoscoskkkkkfXfXfXSxxfXfXxx2.1.2函数的梯度1122kTkkkkfXfXfXxfXxxfXx梯度，也表示为gradf(Xk)2.1.2函数的梯度1212kkTkkkknknfXxfXfXfXfXfXxxxxfXx1122coscoscoscosTS1212coscoscos,cos,kkkTkkkkkfXfXfXfXSSxxfXSfXSfXfXS2.1.2函数的梯度0kTkfXfXSS0kTkfXfXSScos,1kfXScos,0kfXSkfX梯度方向是函数值增长最快的方向梯度方向沿等值线的外法线方向2.1.2函数的梯度函数的梯度具有以下性质：1、函数在一点的梯度是由该点上的所有一阶偏导数组成的列向量。梯度的方向是函数值上升最快的方向，其大小就是它的模。2、函数在一点的梯度方向与函数过该点的等值线的切线相垂直，即是该点等值线的外法线方向。3、梯度是函数在一点邻域内局部性态的描述。在邻域内上升得快的方向，离开邻域后就不一定上升得快，甚至可能下降。2.1函数的方向导数与梯度例2-1：求函数在点和的梯度，并作图表示。221221fXxx13,2TX21,2TX解：根据定义11222422fXxxfXfXxx1112312222242422,222222xxfXfXxx1222222222,(2)222fXfX2.1函数的方向导数与梯度111222222122222222122222fXSfXfXSfX2.2函数的泰勒展开式212!kkkkknfxfxfxxxfxxxR212TTkkkkkkfXfXfXXXXXfXXX22221121222222122222212kkknkkkkknkkknnnfXfXfXxxxxxfXfXfXfXHXxxxxxfXfXfXxxxxx2.2函数的泰勒展开式2.2函数的泰勒展开式例2-2：用泰勒展开式将函数在点简化成线性函数和二次函数。解：332212121328fXxxxxx11,1TX12111212211211213136813466012006402fXxxfXxxxfXx2.2函数的泰勒展开式111221111xxXXxx1111122131151TfXfXfXXXxxxx21121222212122212121211201511102256116113TTkkkkkkfXfXfXXXXXfXXXxxxxxxxxxxxxxx2.3正定二次函数12TTfXXHXBXc对于任意非零向量X：（1）若有，矩阵H正定。（2）若有，矩阵H负定。（3）若有时，有时，矩阵H是不定矩阵。0TXHX0TXHX0TXHX0TXHX2.3正定二次函数2.3正定二次函数110h111221220hhhh1112132122233132330......hhhhhhhhh1111122122111213212223313233000hhhhhhhhhhhhhh2.3正定二次函数12TTHfXXXBXc正定二次函数有以下性质：（1）正定二次函数的等值线是一族同心椭圆。（2）非正定二次函数在极小点附近的等值线近似于椭圆。2.4极值条件2.4.1无约束问题的极值条件00kkfxfx多元函数在某点取极值的必要条件0kfX221212TTkkkkkkTkkkkfXfXfXXXXXfXXXfXfXXXfXXX20TkkkXXfXXX2.4.1无约束问题的极值条件**20ffXX正定例2-3：求函数的极值。解：3322121212+3294fXxxxxxx2112223690344xxfXxx12341313,,,222233XXXX2.4.1无约束问题的极值条件121122366012006408xfXx12212266012006408xfXx123322366012006408xfXx12432266012006408xfXx2.4极值条件2.4.2约束问题的极值条件2.4.2约束问题的极值条件1、等式约束问题的极值条件min..01,2,,vfXsthXvl1,lvvvLXfXhX0,00LXLXL10mvvvvfXhX不全为零2.4.2约束问题的极值条件2、不等式约束问题的极值条件min..01,2,,jfXstgXjm2min..01,2,,jnjfXstgXxjm21,,mjjnjjLXXfXgXx2.4.2约束问题的极值条件,,0LXX1200201,2,,mjjjjnjjnjLfXgXXLgXxLxjmX00kiiiIikfXgXiI2.4.2约束问题的极值条件1000kmiivviIvikvfXgXfXhXiI不全为零Kuhn-Tucker条件，简称K-T条件2.4.2约束问题的极值条件例2-4：用K-T条件判断点是否为以下问题的最优点：2,0TkX221221122231min3..4000fXxxstgXxxgXxgXx解：2123242000kkkgXggXX2.4.2约束问题的极值条件1211222302241101kkkxfXxxgXgX112212240011kkkfXgXgX120.5作业1、把函数在点（1,1）处化简成线性函数和二次函数。4222211121()225fXxxxxxx2、试用K-T条件证明目标函数在不等式约束条件下，点（1,0）是否为约束极值点。2212(2)fXxx211222311000gXxxgXxgXx