考研高数讲义-高数第四章不定积分上课资料

78B持之以恒，厚积薄发1第四章不定积分性质第一类换元法计算第二类换元法原函数不定积分分部积分法简单分式的积分分段函数的积分78B第四章不定积分2第一节不定积分的概念与性质一、原函数的定义原函数:若对于Ix，有)()(xfxF或dxxfxdF)()(，称)(xF为)(xf在区间I内的原函数。78B持之以恒，厚积薄发3原函数存在定理：连续函数必有原函数——即若)(xf在I上连续，则必存在)(xF，使得当xI时，)()(xfxF。【例1】设)(xF是)(xf在(,)ab上的一个原函数，则()()fxFx在(,)ab上（）（A）可导（B）连续（C）存在原函数（D）是初等函数【答案】（C）78B第四章不定积分4【例2】（92二）若)(xf的导函数是xsin，则)(xf有一个原函数为（A）xsin1.（B）xsin1.（C）xcos1.（D）xcos1.【答案】（B）78B持之以恒，厚积薄发5二、不定积分的定义不定积分：在区间I内，)(xf的带有任意常数项的原函数CxF)(称为)(xf在区间I内的不定积分，记为：dxxf)(，即CxFdxxf)()(计算方法：求函数的不定积分，只要求得它的一个原函数，加上任意常数C即可。78B第四章不定积分6不定积分的几何意义：一个原函数对应于一条积分曲线；不定积分对应于积分曲线簇——无穷多条积分曲线，被积函数对应于切线的斜率——同一横坐标处切线平行。【例3】若()fx的导函数是sinx,则()fx的原函数是_____.【答案】12sinxCxC78B持之以恒，厚积薄发7【例4】某曲线过点)2,1(，且其上任一点切线之斜率为该点横坐标之2倍，求此曲线方程。【答案】12xy78B第四章不定积分8三、不定积分的性质（1）))((dxxf或))((dxxfd（2）dxxF)(或)(xdF（3）dxxgxf))()((（4）dxxkf)(78B持之以恒，厚积薄发9【例5】（90二）设函数)(xf在),(上连续，则dxxfd)(等于（A）)(xf（B）dxxf)(（C）Cxf)(（D）dxxf)(.【答案】（B）78B第四章不定积分10【例6】（89三）在下列等式中，正确的结果是（）（A）)()(xfdxxf.（B）)()(xfxdf.（C）)()(xfdxxfdxd.（D）)()(xfxfd.【答案】（C）78B持之以恒，厚积薄发11【例7】（95三）设xxf1)(ln，则)(xf.【答案】()xfxxeC78B第四章不定积分12四、基本积分表（1）kdx（2）dxx（3）xdx（4）dxax；dxex（5）21xdx（6）21xdx78B持之以恒，厚积薄发13（7）xdxcos（8）xdxsin（9）xdxdxx22seccos1（10）xdxdxx22cscsin1（11）xdxxtansec（12）xdxxcotcsc78B第四章不定积分14【例8】求下列不定积分（1）dxx31；（2）dxxx)5(2；【答案】(1)212Cx；（2）732221073xxC78B持之以恒，厚积薄发15（3）dxxx23)1(（4）2xxedx；【答案】（3）21133ln||2xxxCx；（4）21ln2xxeC78B第四章不定积分16（5）dxxxxx)1(1232；（6）xdx2tan【答案】（5）ln||arctanxxxC；（6）tanxxC；78B持之以恒，厚积薄发17（7）dxx2sin2；【答案】（7）1(sin)2xxC78B第四章不定积分18【例9】求下列不定积分：（1）21cos1cos2xdxx；（2）421(1)dxxx【答案】（1）11tan22xxC；（2）211arctan3xCxx78B持之以恒，厚积薄发19第二节换元积分法换元积分法是把复合函数的微分法反过来，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法。通常分为两类：第一换元积分法和第二换元积分法78B第四章不定积分20一、第一换元积分法（凑微分法）定理1（第一类换元法）：设)(uf具有原函数，)(xu可导，则有第一换元法换元公式：)())(()())((xuduufdxxxf)())((xdxf应用方法：若求dxxg)(，如果)())(()(xxfxg的形式，则可利用：dxxxfduufdxxgxu)())((])([)()(。78B持之以恒，厚积薄发21【例1】求下列不定积分（1）xdx2cos2；（2）dxx231；【答案】（1）sin2xC；（2）1ln|32|2xC78B第四章不定积分22（3）dxxex22；（4）dxxex3；【答案】（3）2xeC；（4）323xeC78B持之以恒，厚积薄发23（5）dxxx21；（6）xdxtan；【答案】（5）()322113xC；（6）ln|cos|xC78B第四章不定积分24（7）)ln21(xxdx；（8）xdxx52cossin；【答案】（7）ln||1122xC；（8）sinsinsin357121357xxxC78B持之以恒，厚积薄发25（9）xdx2cos；（10）xdxcsc；【答案】（9）xxC1sin224；（10）xxCln|csccot|78B第四章不定积分26（11）xdxx35sectan【答案】（11）xxxC753121secsecsec75378B持之以恒，厚积薄发27二、第二换元积分法定理2（第二换元积分法）设)(tx为单调，可导且0)(x的函数，又dtttf)())((有原函数，则：)(1])())(([)(xtdtttfdxxf常用第二类换元法：幂代换，三角换元78B第四章不定积分28幂代换：含有nbax，ndcxbax（注：都是一次的）78B持之以恒，厚积薄发29【例1】求下列不定积分（1）dxx111；【答案】（1）xxC21ln(11)78B第四章不定积分30三角换元：代换taxsin22ttaxtan22ttaxsec0t，2t辅助三角形其它函数值78B持之以恒，厚积薄发31【例1】求下列不定积分（2）dxxa22)0(a【答案】（2）2222arcsin2axxaxCaa78B第四章不定积分32（3）dxxa221)0(a；【答案】（3）22ln||xxaC78B持之以恒，厚积薄发33（4）dxax221)0(a【答案】（4）ax时，原式221ln()xxaCax时，原式222ln()xxaCCaxxdxax2222ln178B第四章不定积分34补充公式（13）xdxtan（14）xdxcot（15）xdxsec（16）xdxcsc（17）22xadx78B持之以恒，厚积薄发35（18）22axdx（19）22xadx（20）22axdx（21）22axdx78B第四章不定积分36第三节分部积分法分部积分公式：vdxuuvdxvu或vduuvudv78B持之以恒，厚积薄发37【例1】求下列不定积分（1）xdxxln；（2）arctanxdx；【答案】（1）2211ln24xxxC（2）21arctanln(1)2xxxC78B第四章不定积分38（3）dxexx2；（4）xdxx5sin2；【答案】（3）222xxxxexeeC（4）22cos5sin5525xxxC78B持之以恒，厚积薄发39（5）xdxexsin；【答案】（5）(sincos)2xexxC78B第四章不定积分40【例2】求下列不定积分（1）dxx)1arctan(；【答案】（1）21(1)arctan(1)ln[1(1)]2xxxC78B持之以恒，厚积薄发41（2）dxex；【答案】（2）22xxxeeC78B第四章不定积分42（3）xdxlncos；【答案】（3）(sinlncosln)2xxxC78B持之以恒，厚积薄发43第四节有理函数的积分一、简单有理函数的积分方法：将有理函数化为整式加部分分式之和，再进行积分部分分式：11ln||dxaxbCaxba2111()dxCaxbaaxb78B第四章不定积分442211=()dxdxaxbxcaxhk公式求解=2222(2)221ln||22mmbaxbnmxnaadxdxaxbxcaxbxcmmbaxbxcndxaaaxbxc78B持之以恒，厚积薄发45【例1】求下列不定积分（1）2239dxxx；【答案】（1）21ln|23|ln|3|99xxC78B第四章不定积分46（2）322xxdxCaxaxadxarctan122；【答案】（2）11arctan22xC78B持之以恒，厚积薄发47（3）2(31)23xdxxx；【答案】（3）231ln|23|2arctan22xxxC78B第四章不定积分48（4）321xdxxx【答案】（4）212321arctan233xxxC78B持之以恒，厚积薄发49二、简单无理函数的积分方法：利用幂代换化无理式为有理式进行积分幂代换：1、含有nbax，ndcxbax令naxbt，tdcxbaxn2、2211()dxdxaxbxcaxhk78B第四章不定积分50【例2】求下列不定积分（1）942xdxCaxxaxdx）2222ln(【答案】（1）219ln24xxC78B持之以恒，厚积薄发51（2）21xxdxCaxxaxdx2222ln【答案】（2）21ln12xxxC78B第四章不定积分52（3）（93三）(2)1dxxx【答案】（3）2arctan1xC78B持之以恒，厚积薄发53（4）3(1)dxxx【答案】（4）666(arctan)xxC78B第四章不定积分54三、简单三角有理式的积分a若被积函数满足)cos,(sin)cos,sin(xxRxxR，则令txtanb若被积函数满足)cos,(sin)cos,(sinxxRxxR，则令txsinc若被积函数满足)cos,(sin)cos,sin(xxRxxR，则令txcos78B持之以恒，厚积薄发55d万能公式tan2xt，则22sin1txt，221cos1txt，22tan1txt78B第四章不定积分56【例3】求下列不定积分（1）（94一）xxdxsin22sin【答案】（1）11ln(1cos)ln|sin|41cosxxCx78B持之以恒，厚积薄发57（2）（96二）求1sindxx【答案】（2）tansecxxC78B第四章不定积分58本章强化练习一、与原函数有关的命题1、（99三）设()fx是连续函数，()Fx是()fx的原函数，则（A）当()fx是奇函数时，()Fx必为偶函数.（B）当()fx是偶函数时，()Fx必为奇函数.（C）当()fx是周期函数时，()Fx必为周期函数.（D）当()fx是单调增函数时，()Fx必为单调增函数.答案：