B-S期权定价模型及其应用

Black-Scholes期权定价模型王春雷2引言二叉树期权定价模型：变量离散、时间离散当股价的变动是一个连续的运动过程变量连续、时间连续如何对以它为标的资产的衍生品定价？——本节讨论的问题31、股票价格的运动过程,dSdtdzdzdtS：股票的瞬间收益率：股票的期望瞬间收益率：股价收益率的瞬间标准差dSS4波动率估计1观测证券价格的历史数据S0、S1、……、Sn，观测时间间隔为t（以年为单位）2计算每期以复利计算的回报率ui＝Ln(Si/Si-1),i=1,……,n3计算回报率的标准差s4波动率估计211()1niisuunˆst52、伊藤引理（Ito’slemma）若已知x的运动过程，利用伊藤引理能够推知函数G(x,t)的运动过程由于任何衍生品价格均为其标的资产价格及时间的函数，因而可利用伊藤引理推导衍生品价格的运动过程6伊藤引理（Ito，1951）若随机过程x遵循伊藤过程：则G(x,t)将遵循如下伊藤过程：bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222dztxbdttxadx),(),(722221()2ffffdfSSdtSdzStSSSdzSdtdS股价运动是一种简单的伊藤过程：以股票为标的资产的衍生品价格f(S,t)，其运动过程可通过伊藤引理得到：8例1：伊藤引理的运用若，则该微分方程的解为：(,)lnfStS22211,0,fffSStSS2ln()2dSdtdz2(/2)(),(0,)TtzTtSSezNTt2lnln(/2)()(()())]TtSSTtzTzt93、Black-Scholes微分方程（1）原理衍生品与标的资产（股票）价格不确定性的来源相同与二叉树期权定价模型的思想类似，我们通过构造股票与衍生品的组合来消除这种不确定性10（2）假设条件股价遵循几何布朗运动股票交易连续进行，且股票无限可分不存在交易费用及税收允许卖空，且可利用所有卖空所得在衍生品有效期间，股票不支付股利在衍生品有效期间，无风险利率保持不变所有无风险套利机会均被消除11（3）B-S微分方程的推导222212dSSdtSdzffffdfSSdtSdzStSS＋股票及衍生品的运动过程分别为：为消除不确定性，构造投资组合：衍生品：－1；股票：＋fS12投资组合的价值为：2222-1()2fddfdSSffSdttS投资组合的价值变动为：-ffSS价值变动仅与时间dt有关，因此该组合成功消除了dz带来的不确定性13根据无套利定价原理，组合收益率应等于无风险利率r(无套利机会)：drdt22221()(-)2fffSdtrfSdttSSrfSfSSfrStf222221此即Black-Scholes微分方程。14任意依赖于标的资产S的衍生品价格f应满足该方程衍生品的价格由微分方程的边界条件决定例：欧式看涨期权的边界条件为：C(0，t)＝0C(ST,T)=max（ST–K，0）理论上通过解B-S微分方程，可得Call的价格。问题：微分方程难于求解！154、风险中性定价方法观察B-S微分方程及欧式Call的边界条件发现：C(S,t)与S、r、t、T、σ以及K有关，而与股票的期望收益率μ无关。这说明欧式Call的价格与投资者的风险偏好无关。在对欧式Call定价时，可假设投资者是风险中性的（对所承担的风险不要求额外回报，所有证券的期望收益率等于无风险利率）16用风险中性方法对欧式Call定价假设股价期望收益率为无风险利率r，则：欧式Call到期时的期望收益为：将该期望收益以无风险利率折现，得到欧式Call价格：dSrSdtSdz()ˆ(,)[max(,0)]rTtTCSteESKˆ[max(,0)]TESK17得：其中：此即Black-Scholes期权定价公式。221ln(/)(/2)()SKrTtddTtTt()12(,)()()rTtCStSNdKeNd21ln(/)(/2)()()SKrTtdTt★18如何理解B-S期权定价公式1()SNd1()Nd（1）可看作证券或无价值看涨期权的多头；可看作K份现金或无价值看涨期权的多头。()2()rTtKeNd（2）可以证明，。为构造一份欧式看涨期权，需持有份证券多头，以及卖空数量为的现金。1/()fSNd2()rTKeNd19Black-Scholes期权定价公式用于不支付股利的欧式看涨期权的定价（通过Call-Put平价公式可计算欧式看跌期权的价值）。注意：该公式只在一定的假设条件下成立，如市场完美（无税、无交易成本、资产无限可分、允许卖空）、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动等。20例：Black-Scholes公式的运用假设一种不支付红利股票目前的市价为42元，某投资者购买一份以该股票为标的资产的欧式看涨期权，6个月后到期，执行价格为40元。假设该股票年波动率为20%，6月期国库券年利率为10%，问：该份期权价格应为多少元？解：由上述条件知：S=42,K=40,T-t=0.5,σ=0.2,r=0.12142(0.7693)38.049(0.6278)4.76()CNN元22根据Call-Put平价公式有：计算得到欧式看跌期权价格为：P=0.81(元)-(-)rTtPSCKe-(-)()21()()rTtrTtPCKeSKeNdSNd23影响欧式看涨期权价格的因素当期股价S越高，期权价格越高到期执行价格K越高，期权价格越低距离到期日时间T-t越长，期权价格越高股价波动率σ越大，期权价格越高无风险利率r越高，期权价格越高24B-S期权定价公式的扩展：红利股价运动过程风险中性定价仅需要将St变成Ste-q(T-t)，带入原来的B-S微分方程即可()ˆ(,)[max(,0)]rTtTCSteESK2(/2)(),(0,)rqTtzTtSSezNTt25B-S期权定价公式的运用（1）对公司负债及资本进行估值一家公司A发行两种证券：普通股100万股及1年后到期的总面值8000万元的零息债券。已知公司总市值为1亿元，问：公司股票及债券如何定价？令V为当前A公司资产市场价值，E为A公司资本市场价值，D为A公司债券市场价值。V=E+D26考虑股东1年之后的收益：当A公司价值VT大于债券面值时，收益为VT-8000；当A公司价值小于债券面值时，收益为0。股东相当于持有一个执行价格为8000万元的欧式Call,标的资产为公司价值.当前资本价值为：给出其它具体数值，公司价值的波动率为0.3,无风险利率为8%，根据B-S公司得到E=2824万元.公司负债价值D=V-E=7176万元。12()()rTEVNdBeNd27（2）确定贷款担保价值或担保费用假设某银行为公司发行的债券提供了信用担保。1年之后，若公司价值VT大于债券面值时，银行无须支付；若公司价值VT小于债券面值时,银行须支付VT–B。这相当于银行出售了一个欧式put,标的资产仍为公司价值，执行价格为债券面值B。利用上面的例子，可采用B-S看跌期权定价公式或看涨看跌期权平价公式，得到欧式put的价值为209万元，A公司应支付209万元的担保费。28（3）带有可转化特征的融资工具的定价认股权证指赋予投资者在某一时期以约定价格向发行人购买公司新股的权利。假设公司有N股流通股，M份流通欧式认股权证，一份认股权证使持有人在时刻T以每股K的价格购买x股新股的权利。29设时期T公司权益价值为ET，若持有人选择执行认股权，公司权益价值变为ET+MxK，股票数量变为N+Mx。执行认股权证后瞬间，股价变为(ET+MxK)/(N+Mx)。只有当这一股价大于执行价格K时，持有人才会执行认股权。30（1）当ET/NK时，持有人执行，其收益为：（2）当ET/NK时，持有人不执行，其收益为0。一份认股权证的价值为：其中C是基于公司股票价格的欧式Call，执行价格为K。利用B-S公式得一份认股权证的价值。TExNKNMxNxNCNMx