第四章 时变电磁场 xtm-2

第4章时变电磁场电磁场与电磁波1本章内容4.1波动方程4.2电磁场的位函数4.3电磁能量守恒定律4.4惟一性定理4.5时谐电磁场第4章时变电磁场电磁场与电磁波24.4惟一性定理在以闭曲面S为边界的有界区域V内，如果给定t＝0时刻的电场强度和磁场强度的初始值，并且在t0时，给定边界面S上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在t0时，区域V内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。惟一性定理的表述在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。惟一性问题VS第4章时变电磁场电磁场与电磁波3惟一性定理的证明利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟一的，那么至少存在两组解、和、满足同样的麦克斯韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。1E2H2E1H000EHEt00HEt0()0H0()0E则在区域V内和的初始值为零；在边界面S上电场强度的切向分量为零或磁场强度的切向分量为零，且和满足麦克斯韦方程0E0H0E0H0E0H012EEE012HHH令第4章时变电磁场电磁场与电磁波4根据坡印廷定理，应有222000d11()dd0d22VVHEVEVt所以由于场的初始值为零，将上式两边对t积分，可得222000011()d(d)d022tVVHEVEVt00nn000n0()()()0SSSEHeeEHHeE根据和的边界条件，上式左端的被积函数为0E0HVVSVEVEHtSeHEdd)2121(ddd)(202020n00第4章时变电磁场电磁场与电磁波500,E00H12,EE12HH上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有（证毕）即惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的应用。第4章时变电磁场电磁场与电磁波64.5时谐电磁场复矢量的麦克斯韦方程时谐电磁场的复数表示复电容率和复磁导率时谐场的位函数亥姆霍兹方程平均能流密度矢量第4章时变电磁场电磁场与电磁波7时谐电磁场的概念如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。研究时谐电磁场具有重要意义在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信的载波等都是时谐电磁场。任意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不同频率的时谐场的叠加。4.5.1时谐电磁场的复数表示第4章时变电磁场电磁场与电磁波8时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题的分析得以简化。设是一个以角频率随时间t作正弦变化的场量，它可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，它与时间的关系可以表示成(,)Art0(,)cos[()]ArtAtrj[()]j0(,)ReeRe[()e]trtArtAAr其中j()0()erArA时间因子空间相位因子利用三角公式式中的A0为振幅、为与坐标有关的相位因子。()r实数表示法或瞬时表示法复数表示法复振幅时谐电磁场的复数表示第4章时变电磁场电磁场与电磁波9复数式只是数学表示方式，不代表真实的场。照此法，矢量场的各分量Ei（i表示x、y或z）可表示成j[()]jm(,)Re[()e]ReeitrtiiiErtErEjm(,)Re[()e]tErtErj()j()j()mmmm()()e()e()eyxzrrrxxyyzzEreEreEreEr各分量合成以后，电场强度为有关复数表示的进一步说明复矢量真实场是复数式的实部，即瞬时表达式。由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关的部分就可表示复矢量。第4章时变电磁场电磁场与电磁波10例4.5.1将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式mm(,)cos()sin()xxxyyyEzteEtkzeEtkz（2）mmπ(,,)()sin()sin()ππcos()cos()xzaxHxzteHkkztaxeHkzta解：（1）由于mmπ(,)cos()cos()2xxxyyyEzteEtkzeEtkzj(π/2)j()mmRe[ee]yxtkztkzxxyyeEeEj(π/2)j()mmm()eeyxkzkzxxyyEzeEeEjjjmm(eje)eyxkzxxyyeEeE（1）所以第4章时变电磁场电磁场与电磁波11（2）因为cos()cos()kzttkzππsin()cos()cos()22kztkzttkzjjπ2jmmmππ(,)()sin()ecos()eπkzkzxzaxxHxzeHkeHaa故mmπ(,,)()sin()sin()ππcos()cos()xzaxHxzteHkkztaxeHkzta所以mmππ()sin()cos()π2πcos()cos()xzaxeHktkzaxeHtkza第4章时变电磁场电磁场与电磁波12例4.5.2已知电场强度复矢量mm()jcos()xxzEzeEkz解jmπj()2m(,)Re[jcos()e]Re[cos()e]txxztxxzEzteEkzeEkzmπcos()cos()2xxzeEkzt其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量mcos()sin()xxzeEkzt第4章时变电磁场电磁场与电磁波13以电场旋度方程为例，代入相应场量的矢量，可得tBEjjmm[Re(e)][Re(e)]ttEBtjjjmmmRe[(e)]Re[(e)]Re[je]tttEBBtmmjEBtRe将、与交换次序，得上式对任意t均成立。令t＝0，得4.5.2复矢量的麦克斯韦方程mmRe[]Re[j]EB令ωt＝π/2，得mmRe[j]Re[j(j)]EBmmIm[]Im[(j)]EB即第4章时变电磁场电磁场与电磁波14mmmmmmmmjj0HJDEBBD0ttDHJBEBDjj0HJDEBDB从形式上讲，只要把微分算子用代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程jtjt—略去“.”和下标m第4章时变电磁场电磁场与电磁波15例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为),(),(),(21tzEtzEtzE8182(,)0.03sin(10π)(,)0.04cos(10ππ/3)xxEztetkzEztetkz式中888888j(10ππ/2)j(10ππ/3)j(π/2)j(π/3)j(,)0.03sin(10π)0.04cos(10ππ/3)π0.03cos(10π)0.04cos(10ππ/3)2Re[0.03e]Re[0.04e]Re0.03e0.04eexxxxtkztkzxxkzkzxxEztetkzetkzetkzetkzeeee810πt解：（1）因为jπ/2jπ/3j()[0.03e0.04e]ekzxEze故电场的复矢量为试求：（1）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。第4章时变电磁场电磁场与电磁波16（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量00ππjjj32054321j()()j[0.03e0.04e]e[7.610e1.0110e]exykzyjjjkzyEHzEzezkeekj58(,)Re[()e][7.610sin(10π)tyHztHzektkz48π1.0110cos(10π)]3tkz磁场强度瞬时值第4章时变电磁场电磁场与电磁波17实际的介质都存在损耗：导电媒质——当电导率有限时，存在欧姆损耗。电介质——受到极化时，存在电极化损耗。磁介质——受到磁化时，存在磁化损耗。损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。4.5.3复电容率和复磁导率cjj(j)jHEEEE导电媒质的等效介电常数其中c=－jσ/ω、称为导电媒质的等效介电常数。对于介电常数为、电导率为的导电媒质，有第4章时变电磁场电磁场与电磁波18电介质的复介电常数同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质cj(+)磁介质的复磁导率cj对于存在电极化损耗的电介质，有，称为复介电常数或复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常数为cj对于磁性介质，复磁导率数为，其虚部为大于零的数，表示磁介质的磁化损耗。第4章时变电磁场电磁场与电磁波19损耗角正切导电媒质导电性能的相对性tantan，电介质tan，导电媒质磁介质1——弱导电媒质和良绝缘体1——一般导电媒质1——良导体工程上通常用损耗角正切来表示介质的损耗特性，其定义为复介电常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有导电媒质的导电性能具有相对性，在不同频率情况下，导电媒质具有不同的导电性能。第4章时变电磁场电磁场与电磁波20理想介质4.5.4亥姆霍兹方程在时谐时情况下，将、，即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。222ttj瞬时矢量复矢量22222200ttEEHH222200kkEEHH()k第4章时变电磁场电磁场与电磁波214.5.5时谐场的位函数在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以表示成复数形式。tBAAE洛仑兹条件达朗贝尔方程瞬时矢量复矢量jBAEAtAjA222222ttAAJ2222kkAAJ第4章时变电磁场电磁场与电磁波224.5.6平均能量密度和平均能流密度矢量二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形式，不能将复数形式的场量直接代入。00(,)cos[()](,)cos[()]ttttErErHrHr设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方关系，这种关系式称为二次式。时谐场中二次式的表示方法第4章时变电磁场电磁场与电磁波23则能流密度为200cos()trSEHEH如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有j()0()erErEj()0()erHrHj()j()jj00j2(0000Re(ee)ReeeReecos22()trtrtttr)trSEHEHEHEHj()j()00200ReeReecos()trtrtrSEHEH先取实部，再代入第4章