力学.第5章.刚体的转动_778107259(1)

1第五章刚体的转动2§5.1刚体的运动§5.2刚体的定轴转动定律△§5.3转动惯量的计算§5.4转动定律应用举例§5.5定轴转动中的功能关系§5.6刚体定轴转动的角动量定理§5.7进动§5.8刚体平面运动简介第五章刚体的转动3§5.1刚体的运动一.刚体的概念理想化模型：有自己独特的运动学和动力学规律。特殊质点系：质点相对位置不变，质点系的规律都适用；二.刚体运动形式1.平动—基本的运动形式之一无限刚性，受力不变形，可瞬时传力；常用质心运动代表整体平动。体内任两点连线在任意时刻保持平行。4定点转动：3.平面运动：刚体各点运动都平行于某固定平面，各点轨道面平行或重合。4.一般运动：不受任何限制的自由运动，是下面两种运动的组合：随基点O（可任选）的平动绕通过基点O的瞬时轴的定点转动刚体只有一点固定不动，整体绕通过该点的瞬时轴转动。2.转动—基本的运动形式之二定轴转动：定点转动的瞬时轴成固定轴。5转动与基点选取无关。基点不同，平动可不同，转动却相同。例如：三.定点转动及其运动学量反映瞬时轴方向及刚体转动的快慢。或1.角速度具有唯一性：与基点选择无关。OOOO6tddtdd2.角加速度：反映的变化情况的方向沿瞬时轴。方向不一定与一致，不一定沿瞬时轴。×基点OP瞬时轴刚体dv73.角量和线量的关系trrttaddddddvvr旋转加速度向轴加速度四.定轴转动对定轴转动，和都沿定轴，但两者方向不一定相同，都退化为代数量。rr×基点OP瞬时轴刚体vrrvP质点8rv2randdddrtrtatvt0匀加速转动（恒定）)(202022021)(ttPv×O定轴刚体rr参考方向z,9§5.2刚体的定轴转动定律观点：把刚体看作无限多质元构成的质点系。)(dd点对外OtLM)Δ(2iiirm)(dd轴对外ztLMzziiiiiizzrmLLvΔΔ2iiizrmJ定义对z轴的转动惯量iFimΔiv×O定轴刚体irirz,10zzJLzzzzJtJtLMdddd外—刚体定轴转动定律iiiizrFM)sin(外对定轴，略去下标z：JM与牛顿第二定律相比：M~F，J~m，~aiFimΔiv×O定轴刚体irirz,i上式中下标代表垂直轴的分量11△§5.3转动惯量的计算2iirmJ质点系mmrJd2连续体J由质量对轴的分布决定。一.常用的几种转动惯量表示式dmrm转轴细圆环：2mRJORmO12二.计算转动惯量的几条规律1.对同一轴J具有可叠加性iJJ212mRJC均匀圆盘：RmC1212mlJC312mlJA均匀细杆：CAm2l2l133.对薄平板的正交轴定理rimixzyiyxiO2iizrmJ22iiiiymxmyxzJJJ2.平行轴定理minJJC2mdJJC（证明见书P166）JCdmJC平行×14【例】求对薄圆盘的一条直径的转动惯量。已知圆盘221mRJzyxz圆盘RCm解：221mRJJJzyx241mRJJyx下图中的Jz如何求？Caazm【思考】zlDm15§5.4转动定律应用举例已知：R,m,h,v0=0,下落时间t，绳轮之间无相对滑动，绳不可伸长。求：轮对O轴的J解：动力学关系：对轮：对m：运动学关系：Ra(3)221ath(4)JRT(1)maTmg(2)mgmaTT定轴ORthmv0绳RGTN16(1)－(4)联立解得：22)12(mRhgtJ分析结果：量纲对；h、m一定，Jt，若J=0，得，221gth正确。合理；这是一种用实验测定转动惯量的方法。17§5.5定轴转动中的功能关系一.力矩的功力矩的空间积累效应：)d(cosdrFW力矩d)cos(rFdM力矩的功d21MW力矩d定轴xrF18二.定轴转动动能定理21dMW力矩21dddtJ21dJ21222121JJ212JEk转动定义转动动能)2121(22iimJv：可证—刚体定轴转动动能定理Δ转动力矩kEW19三.刚体重力势能iipghmEmhmmgiiCmgh四.应用举例对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。×ChChiEp=0mi20解：（杆+地球）系统，0sin4212lmgJO222487)4(121mllmmlJOlg7sin62只重力作功，E守恒：【例】均匀直杆质量为m，长为l，初始水平静止。轴光滑，。4/lAO求：杆下摆到角时的角速度和轴对杆的作用力。Nθ轴OCABl,ml/421gmBCOAl,maCnaCt应用质心运动定理求轴力：CamgmNCnnmaNmgnsin:(3)CttmaNmgtcos:(4)24laCnsin76g(5)4laCt7cos3g(6)OlJmglcos44NnNttnN22BCOAl,mtn由(3)(4)(5)(6)解得：sin713mgNncos74mgNttnemgemgNcos74sin71316sin15372mgNNnNNt23§5.6刚体定轴转动的角动量定理质点系对点1221dLLtMtt外对轴zttzzLLtM1221d外刚体zzJLd1221zzttzJJtM外—刚体定轴转动的角动量定理ddzzJtM外或所以240常矢量则若zzzJLM，外—刚体定轴转动的角动量守恒定律对刚体系，M外z=0时，.constiizJ角动量可在系统内各刚体间传递，而刚体系对转轴总角动量不变（必须是同一轴）。两轮磨合问题两匀速转动的轮子接触后，讨论摩擦力、运动状态变化，能否用对轴的角动量守恒？r2r12010J2J1【思考】25克服直升飞机机身反转的措施尾浆推动大气，产生的力矩阻止机身反转。双翼反向转动，产生反向力矩，相互抵消。26猫从树枝和手的下落【TV】刚体定轴角动量守恒茹科夫斯基转椅转台车轮角动量守恒：【演示】27【例1】如图两轮磨合问题，已知：初始参量（J1,10,r1）和（J2,20,r2），求：接触达稳定后的1和2r2r12010J2J1O1O2解：此系统角动量并不守恒，因为O1和O2处的轴力产生的力矩和不为零。应对每个轮作隔离分析，用角动量定理求解。r2r121J2J1O1O2f1f2设摩擦力方向如图示，有：对轮1：1111ddJtrf对轮2：2222ddJtrf28r2r121J2J1O1O2f1f2利用f1=f2得：222111ddrJrJ对初末态积分得：2202211011)()(rJrJ稳定条件：接触点线速度相同：2211rr（注意负号，两轮反着转）解得：)()(2122212012102121rJrJrJrJr)()(2122212012102112rJrJrJrJr29解：【例2】粘土块斜射到匀质圆盘顶点P后与圆盘粘合，已知：v0，R，M=2m，=60˚。（水平）v0m(粘土块)yxPOM光滑轴均质圆盘R求：当P转到x轴时盘的,，轴对盘的作用力。N对m+M系统，碰撞瞬间，外力（重力和轴力）对O轴的力矩=0，守恒，L（1）求、，碰撞过程：过程分2步：3022222mRmRMRJ(2)对m+M+地球系统，E守恒，令m、x重合时EP=0，有：m+M形成刚体，转动惯量为：v0mOMR设碰后瞬间盘角速度为0，有：定轴转动过程：(3)2202121JmgRJ(1)(2)(3)解得RgR41620v0202021cosmRMRRmv(1)mOMRx,31m、x重合时m+M系统所受力矩：mgRMRgmRmgRJM222（2）求轴力N－用质心运动定理求m+M的质心C在距O的R/3处，质心加速度：,3RaCt,32RaCny方向x方向mgmOMRx,yOx,CCnaCta32由质心运动定理有：CtyaMmgMmN)()(CnxaMmN)(设轴力的方向如图，N代入的值得：CtCnaa,mgNgRmNyx25),16(20vNx0表明的x分量与假设方向相反。N如何用牛顿定律分别对m和圆盘作隔离体分析，求出轴力？N【思考】(m+M)gOxyNyNxNC33一.刚体角动量和角速度的关系§5.7进动做定轴转动的刚体，其角动量和角速度方向一定相同吗？LO例：如图由于绳的约束，固连球的轻杆只能绕Oz轴转动，O是杆的中点，但是：∥OLzO×prrpOLLL34绕OO轴转，因为此时守恒。OL答：力矩突变【演示】一般情况下，刚体的角动量和角速度的方向不一定相同。L质量均匀、几何对称的刚体，绕几何对称轴作定轴转动时，角动量//角速度。L【思考】剪断绳瞬间如何运动？OLOzO35二.进动高速自转物体，其自转轴绕另一个轴转动的现象，如玩具陀螺：PrecessionSpin36OCtLMdddML∥LMLLd每一瞬时，角动量只改变方向而不改变大小，而同时，使角动量产生变化的力矩也随之改变方向，使上面关系在每一瞬间总保持成立，这就意味着刚体在作进动。MLL对O点，分析对称陀螺自转角动量的变化：Lr×MgmLdL//37OLsinsinJMLMΩ90JMΩ，时当进动角速度：tΘΩddΘLLdsindΩ，1Ω车轮进动，对称陀螺的定轴性【TV】进动防止炮弹翻转sinLtMd【演示】dLd38当进动发生后，总角速度,Ω总当刚体高速自转时，有,总当考虑对的贡献时，自转轴在进动中会出现微小的上下周期性摆动—章动。Ω总39产生左转的外力矩M【讨论】回转效应的利弊▲轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。附加力会损坏轴承，甚至翻船。▲三轮车拐弯时易翻车【TV】内侧车轮上翘左转附加力附加力对海浪，回转效应则可使船体保持平衡、稳定。轴承LLdM//40【讨论】地球进动与岁差随着地球自转轴的进动，北天极方向不断改变。北极星3000年前小熊座现在小熊座12000年后天琴座（织女）太阳赤道面黄道面7223o地球北天极地轴T=25800年自转轴进动(F1F2)LdM//C1C2F1F2自转角动量L41地轴进动分点每年在黄道上西移50.2太阳年（回归年）：太阳由春分秋分春分恒星年：地球绕太阳一周的时间岁差=恒星年－太阳年=20分23秒北半球南半球黄道面赤道面西太阳东秋分点春分点42我国古代已发现岁差：每50年差1度（约72/年，精确值50.2/年）。前汉刘歆（公元前53－后23）发现岁差。晋朝虞喜（公元265－316）最先确定岁差：先将岁差引入历法：391年有144个闰月。祖冲之（公元429－500）编《大明历》最43三.自由度自由度是确定力学体系空间几何位形所需的独立坐标数，与几何约束条件直接相关。1.质点的自由度不受约束（自由）的质点，约束在曲面上运动的质点，约束在曲线上运动的质点，x,y,z相互独立；自由度为3，x,y,z中有1个不独立，如z=z(x,y)；自由度为2，x,y,z有2个不独立，如z=z(x)，y=y(x