高二数学第一章 常用逻辑用语小结与复习(选修2-1)

常用逻辑用语复习知识体系网络常用逻辑用语复习小结本章知识结构:常用逻辑用语命题及其关系全称量词存在量词充分条件必要条件充要条件简单的逻辑联结词:且、或、非四种命题:原命题、逆命题、否命题、逆否命题.1.原命题与逆否命题同真同假.2.证明一个命题,可以考虑证它的逆否命题来间接证明.1.pq说p是q的充分条件,q是p的必要条件.2.pq说p与q互为充要条件.充要条件的探求是学好数学的基本功.知道命题的特征.能准确写出命题的否定.重要考点四种命题形式及其关系注:(1)“互为”的;(2)原命题与其逆否命题同真同假.(3)逆命题与否命题同真同假.原命题若p,则q逆否命题若q,则p否命题若p,则q逆命题若q,则p互逆互否互否互逆互为逆否同真同假命题的形式：“若P,则q”通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命题的条件,q叫做结论.pq记做:一.用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题．其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．若p则q逆否命题：原命题：逆命题：否命题：若q则p若p则q若q则p二、四种命题结论1：要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若p则q”的形式）注意：三种命题中最难写的是否命题。结论2：（1）“或”的否定为“且”，（2）“且”的否定为“或”，（3）“都”的否定为“不都”。三、四种命题之间的关系原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互逆互否互否互逆（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。(1)原命题与逆否命题同真假。(2)原命题的逆命题与否命题同真假。（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。四、命题真假性判断结论：反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。反设归谬结论反证法1.写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc“的逆命题，否命题与逆否命题，并分别判断他们的真假2.写出命题“若x≠a且x≠b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0”的否命题如果命题“若p则q”为真，则记作pq（或qp）。定义:如果,则说p是q的充分条件,q是p的必要条件pq如果命题“若p则q”为假，则记作pq。充要条件从集合角度理解：pq，相当于Pq，即Pq或P、q充要条件定义:pqqppq如果既有，又有就记做称:p是q的充分必要条件,简称充要条件显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件p与q互为充要条件(也可以说成”p与q等价”)1、充分且必要条件2、充分非必要条件3、必要非充分条件4、既不充分也不必要条件各种条件的可能情况2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:充分非必要条件必要非充分条件1）AB且BA，则A是B的2）若AB且BA，则A是B的3）若AB且BA，则A是B的既不充分也不必要条件充分且必要条件4）AB且BA，则A是B的3、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件3）若AB且BA，则甲是乙的2)若AB且BA，则甲是乙的1）若AB且BA，则甲是乙的充分非必要条件必要非充分条件既不充分也不必要条件一般情况下若条件甲为ｘ∈Ａ，条件乙为ｘ∈Ｂ4）若A=B，则甲是乙的充分且必要条件。1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出.注意点2.搞清①A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间的区别与联系；②A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间的区别与联系３、注意几种方法的灵活使用：定义法、集合法、逆否命题法练习1：填写“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要。1）sinAsinB是AB的___________条件。2）在ΔABC中，sinAsinB是AB的________条件。既不充分又不必要充要条件注、定义法（图形分析）2、a＞b成立的充分不必要的条件是（）A.ac＞bcB.a/c＞b/cC.a+c＞b+cD.ac2＞bc2D3.关于x的不等式：｜x｜+｜x-1｜＞m的解集为R的充要条件是()(A)m＜0(B)m≤0(C)m＜1(D)m≤1C练习4、1、设集合M={x|x2},N={x|x3},那么”x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的A.充要条件B必要不充分条件C充分不必要D既不充分也不必要B注、集合法2、a∈R,|a|3成立的一个必要不充分条件是A.a3B.|a|2C.a29D.0a2A1.已知p是q的必要而不充分条件，那么┐p是┐q的_______________.练习5、充分不必要条件注、等价法（转化为逆否命题）2：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条件,则A为C的（）条件A.充要B必要不充分C充分不必要D既不充分也不必要Ａ集合法与转化法1.已知P：｜2x-3｜＞1；q：1/(x2+x-6)＞0，则┐p是┐q的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件2、已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6,则┐p是┐q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件练习6、AA7.求关于x的方程x2-mx+3m-2=0的两根均大于1的充要条件8.设p：|4x－3|≤1，q：x2－（2a+1）x+a（a+1）≤0。若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围。我们再来看几个复杂的命题:(1)10可以被2或5整除.(2)菱形的对角线互相垂直且平分.(3)0.5非整数.“或”,“且”,“非”称为逻辑联结词.含有逻辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联结词的命题称为简单命题.复合命题有以下三种形式:(1)P且q.(2)P或q.(3)非p.一般地,用逻辑联结词”且”把命题p和命题q联结起来.就得到一个新命题,记作pq读作”p且q”.逻辑联结词：或、且、非规定:当p,q都是真命题时,是真命题;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时,是假命题.pqpqpq全真为真,有假即假.一般地,用逻辑联结词”或”把命题p和命题q联结起来.就得到一个新命题,记作pq规定:当p,q两个命题中有一个是真命题时,是真命题;当p,q两个命题中都是假命题时,是假命题.pqpqpq特别注意对一些词语的否定词语否定词语否定等于不等于任意的某个大于不大于所有的某些小于不小于且或是不是都是不都是至多有一个至少有两个至多有n个至少有(n+1)个至少有一个一个都没有至少有n个至多有(n-1)个“非p”─p的全盘否定.特别注意!一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作p读作”非p”或”p的否定”“非”命题对常见的几个正面词语的否定.正面=是都是至多有一个至少有一个任意的所有的否定≠≤不是不都是至少有两个没有一个某个某些1.已知p:方程有两个不等的负实根；q:方程无实根.若为真，为假，求实数m的取值范围210xmx244(2)10xmxpqpq2.给出下列命题：①关于x的不等式对xR恒成立；②是减函数。若①和②中至少有一个是真命题，求实数m的取值范围2(2)2(2)40mxmx2()(13)xfxmm常见的全称量词还有:“对所有的”,”对任意一个”,”对一切”,”对每一个”,”任给”,”所有的”等.短语”对所有的””对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.全称量词与存在量词全称命题”对M中任意一个x有p(x)成立”可用符号简记为读作”对任意x属于M,有p(x)成立”.,()xMpx通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。常见的存在量词还有”有些””有一个””有的””对某个”等.短语”存在一个””至少有一个”在逻辑上通常叫做存在量词,并用符号””表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题.存在量词特称命题”存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为读做”存在一个x,使p(x)成立”.,().xMpx一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:全称命题p:全称命题的否定是特称命题.,(),xMPx它的否定p：xM，p（x）.含有一个量词的命题的否定一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:xM,p(x)特称命题:p它的否定:pxM,p(x)特称命题的否定是全称命题.1.写出下列命题的否定，判断它们否定的真假（1）无论x为何实数，sin2x＋cos2x=1（2）存在a，使得不等式ax2＋x＋1≤0有实数解题型3．根据条件求参数的取值范围已知p：x2－8x－200，q：x2－2x＋1－a20，若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．【思路点拨】p是q的充分不必要条件，即p⇒q且qp，利用集合间的包含关系求a的范围．例6【解】解不等式x2－8x－200，得p：A＝{x|x10或x－2}；解不等式x2－2x＋1－a20，得q：B＝{x|x1＋a或x1－a，a0}．依题意p⇒q但qp，说明AB.于是有a01＋a≤101－a－2或a01＋a101－a≥－2，解得0a≤3，所以正实数a的取值范围是0a≤3.练习三:1.已知命题p:方程2320xx的根是x=2;命题q:方程2320xx的根是x=1,则命题pq或为____________.2.写出命题“a、b、cR，若122bax，122cby，122acz，则x、y、z中至少有一个不小于0”的否定为____________________.3.设命题p：函数)161lg()(2axaxxf的定义域为R；命题q：不等式axx112对一切正实数均成立.如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围.3答案方程2320xx的根一定是x=2或一定是x=1a、b、cR，若221xab，221ybc，221zca，则x、y、z三个都小于0”证明:∵点P(2,3)∈A∩(B)P(2,3)∈A且P(2,3)∈B3.设集合{(,),},{(,)20},UxyxRyRAxyxym{(,)0Bxyxyn≤求证:“点P(2,3)∈A∩(B)”的充要条件是“m-1且n5”.∴“点P(2,3)∈A∩(B)”的充要条件是“m-1且n5”2230230mn即m-1且n53.解：命题p为真命题21()lg()16fxaxxaR函数的定义域为22010116104aaxxaxa对任意实数均成立2.a2.pa命题为真命题211qxax又命题为真命题对一切正实数均成立21122(211)211xxaxxxxx对一切正实数均成立20,211,2112,1.(8211xxxx由于分)1.(10qa命题的真命题≥分)∵根据题意知，命题p与q为有且只有一个是真命题，当命题p为真命题且命题q为假命题时a不存在；当命题p为假命题且命题q为真命题时a的取值范围是[1，2].综上，命题p或q为真命题，命题p且q为假命题时实数a的取值范围是[1，2](12分)