高二数学选修4-4平面直角坐标系中的伸缩变换与极坐标系

学习要点：极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点作旋转变动，则采用极坐标系。xyoyzox●●●●oPP(x,y)P(x,y,z)（1）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应；（2）在平面直角坐标系上，平面上所有点的集合与全体有序实数对（x,y）的集合建立一一对应；（3）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对（x,y,z）的集合建立一一对应；复习回顾4.1.1直角坐标系4.1.1直角坐标系数轴空间直角坐标系平面直角坐标系R（x,y)（x,y,z)复习回顾建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:（1）若图形有对称中心，则可选对称中心为坐标原点；（2）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴；（3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系中，应满足：任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置；而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。复习回顾选择适当的坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。巩固练习OyxFAEBDC从这向北走100米。我知道了。6四食堂在什么位置？7以超市所在直线为X轴以牛奶棚所在直线为Y轴...脑子进水了？8从这向北走100米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。9一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线Ox，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。xO新课讲解二、极坐标系内一点的极坐标的规定:对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从Ox到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从Ox到OM的角度，即以Ox（极轴）为始边，OM为终边的角。xOM新课讲解例题解析例1.在极坐标系中表示下列坐标对应的点.xO4234547432(4,)65(3,)127(2,)623(5,)123(1,)4由极坐标描点的步骤：(1)先按极角找到点所在射线；(2)在此射线上按极径描点.12例题解析例2.试写出下列点所对应的极坐标.xO232(5,)6A(3,)2BAB5(4,)6CC7(5,)6DDE11(4,)6E一点的极坐标唯一吗？(,)(,2)k表示同一点13与直角坐标系的联系与区别极坐标系与直角坐标系的异同是什么？都是用有序实数对来表示平面上的点.其中的有序实数对意义不同.直角系的坐标与平面上点是一一对应的;极坐标系的坐标与平面上点多对一的;有没有办法使极坐标与点之间一一对应？0,02且（或）除极点(0,)外，限制14探索Ox已知一点,与它关于极轴所在直线对称的点如何表示？M(,)M(,)若M的坐标为,则M’的坐标可以是(,)(,).15探索Ox已知一点,与它关于极点对称的点如何表示？M(,)M(,)若M的坐标为,则M’的坐标可以是(,)(,).16极径的推广负的极径有意义吗？“负”的意义是什么？标准之下3摄氏度与-3摄氏度.方向相反a与.a与.Ox(,)M(,)若M的坐标为则M的坐标也可以是(,)(,).特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥0。因为负极径只在极少数情况用。17极坐标系与极坐标极径点O极点射线Ox极轴角极角有序实数对(,)极坐标逆时针为正角顺时针为负角0终边上取M0终边反向延长线上取MOx(,)M(,)||1819在直角坐标系中,以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且两种坐标系中取相同的长度单位20x=ρcosθ,y=ρsinθ211.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同.互化公式的三个前提条件：22已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。2324点的轨迹设M(x,y)是直角坐标系内一点,当M按某种规律在平面内运动时,所留下的运动轨迹,反映在图形上就是一条曲线.Oxy所谓某种规律：M(x,y)坐标之间所满足一定关系式.某个方程若要用一个方程刻画坐标平面内的曲线C,则方程与曲线之间应当满足怎样的关系？25曲线与方程定义.在直角坐标系中,如果曲线C和二元方程之间满足:(,)0Fxy①曲线C上的点的坐标都是方程的解;②方程的解为坐标的点都在曲线C上;则称：方程为曲线C的方程;(,)0Fxy曲线C是方程的曲线.(,)0Fxy26极坐标方程定义.在极坐标系中,如果曲线C和二元方程之间满足:(,)0F①曲线C上的点的极坐标都是方程的解;②方程的解为极坐标的点都在曲线C上;则称：方程为曲线C的极坐标方程;(,)0F曲线C是方程的曲线.(,)0F这样推广合理吗？为什么？27问题探索极轴所在直线的极坐标方程是什么？Ox0①曲线上的点的坐标都是方程的解;(R)②方程的解为坐标的点都在曲线上;极点(0,0)(0,2)符合方程不符合方程极坐标的不唯一性导致了上述情况.这个方程合理吗？28极坐标方程定义.在极坐标系中,如果曲线C和二元方程之间满足:(,)0F①曲线C上的点的所有极坐标中,至少有一个是方程的解;②方程的解为极坐标的点都在曲线C上;则称：方程为曲线C的极坐标方程;(,)0F曲线C是方程的曲线.(,)0F29求曲线的极坐标方程步骤1、设点M(ρ,θ)是曲线上任意一点；2、根据几何条件建立关于ρ,θ的方程，并化简；3、检验并确认所得的方程即为所求。30例题解析例2.求以为圆心,半径为的圆的极坐标方程.(,0)Ca(0)aa(,)P2aMOx解:如图所示:设点P坐标为(,)即2cosa则||cos||OPOM(,)P()22()2231例题解析例3.如图,求过,与极轴夹角为的直线方程.(,0)(0)Maa(,)P(,0)MaO解:则,||(0)OP设点P坐标为,(,)x(0),POM若点P位于极轴上方,(,)P在中,OPMsin()sin()asin()sina32例题解析例4.设质点M为射线OA上的动点,已知M沿方向作匀速运动,同时射线OA又绕着它的端点O作等角速度旋转,求质点M运动的轨迹方程.OAxO阿基米德螺线解:0MMA设点M的初始位置为,00(,0)M以O为极点,以射线OM0为极轴,设M的运动速度为v,设OA的角速度为,时间为t,则有0.a33练习求下图中的圆的极坐标方程,半径都是a(,)2CaxxOOa2sinaP34练习求下列直线的极坐标方程．)3,3(P(1)过极点与点(2)过点且与极轴垂直(3)过点且与极轴平行(2,0)M(3,)2M23cos2sin33522121212122cos()PP设两点，则由余弦定理得：111222(,),(,)PP极坐标系下两点间的距离公式•••OxAB45636Ex2.3.3两种坐标的互化37引入已知点的极坐标，如何得到其直角坐标？Ox(4,)3P例如：(4,)3Ppxpy4cos23px设其直角坐标为,(,)ppxy4sin233pyy38极坐标直角坐标Ox(,)Ppxpy则有：cossinxy一般地,设点P是平面上任意一点,其极坐标为,如图建立直角坐标系,设直角坐标为,(,)(,)xy(,)xy如何证明？39Ox0时,cossinxyP的直角坐标为：P在极点,显然成立;0时,||(,)PP的坐标可改写为(,)(0)0时,ycoscos()sin()xy则sin40极坐标直角坐标Ox(,)Ppxpy则有：cossinxy一般地,设点P是平面上任意一点,其极坐标为,如图建立直角坐标系,设直角坐标为,(,)(,)xy点的极坐标化直角坐标是唯一的。41例题解析例1.将下列极坐标化为直角坐标：极坐标(2,)6(3,1)直角坐标5(4,)3(2,23)直角坐标(2,)(2,0)直角坐标(2,)3(1,3)直角坐标42直角坐标极坐标则由：cossinxy一般地,设点P是平面上任意一点,其直角坐标为,如图建立极坐标系,设极坐标为,(,)(,)xy222tan(0)xyyxx,0)2Z(kxk点的直角坐标化极坐标，不是唯一的。43例题解析例2.将下列点的直角坐标化为极坐标：直角坐标(1,3)2(2,)3极坐标(3,3)(0,4)3(4,)2极坐标(2,23)3(33,)4极坐标(4,)3极坐标由点所在象限确定极角的值44极坐标方程定义.在极坐标系中,如果曲线C和二元方程之间满足:(,)0F①曲线C上的点的所有极坐标中,至少有一个是方程的解;②方程的解为极坐标的点都在曲线C上;则称：方程为曲线C的极坐标方程;(,)0F曲线C是方程的曲线.(,)0F45例题解析例3.化直角组表方程为极坐标方程.0xy解:cossinxy由,得cossin0,(cossin)0,0或者cossin0tan1,(Z)4kk表示极点，0(R).4故所求极坐标方程为表示直线,(Z)4kk过极点46例题解析例4.化极坐标方程为直角坐标方程.4cos解2时,024cos,cossinxy由,得224xyx22(2)4.xy时,0表示极点,直角坐标为(0,0),满足上述方程,因此所求直角坐标方程为22(2)4.xycossinxy解1由得2222224(0)xxyxyxy47练习1.极坐标方程表示的曲线是.cos202cos()42.圆的圆心的极坐标是，半径是.48