2.5 介质中的高斯定理

12.5介质中的高斯定律边界条件一、介质中的高斯定理介质的极化过程包括两个方面：1)外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；2)极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状态。3)无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服从同样的库仑定律和高斯定理。真空中，0E0E自由电荷是激发静电场的源1.介质中静电场的基本方程220E0LEdlE1)介质中，极化电荷只是静电场的散度源，对其旋度没有影响。极化电荷激发的场E'0E仍满足根据叠加原理，介质中的总场仍是无旋的。即故可引入标量电位自由电荷：0E介质被极化－极化电荷：,'PE0EP'E介质空间中电场：0'EEE介质空间外加电场，实际电场为，变化与介质性质有关。0EE,32)介质极化后，介质中的静电场是自由电荷与极化电荷共同激发的，根据高斯定律，有：P0E0()EP定义一个新矢量：0DEPDSVDdSDdVSVDdSdVQ介质中的高斯定理根据散度定理，有结论：穿过任意封闭曲面的电通量，只与曲面中包围的自由电荷有关，而与介质的极化状况无关。电位移矢量代入上式可得：PP将40ED0LEdlSVDdSdVQ介质中静电场的基本方程为：积分形式微分形式介质中静电场仍为有源无旋场。,,DEP2．的关系极化强度与电场强度之间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质，和有简单的线性关系e0P=χεEEPEP50DEP0r称为介质的介电常数0ePE已知电极化率e为正实数，因此，一切介质的介电常数均大于真空的介电常数。实际中经常使用介电常数的相对值，这种相对值称为相对介电常数，以r表示，其定义为e0r1可见，任何介质的相对介电常数总是大于1。下表给出了几种介质的相对介电常数的近似值。0(1)eE0rEE6介质介质空气1.0石英3.3油2.3云母6.0纸1.3~4.0陶瓷5.3~6.5有机玻璃2.6~3.5纯水81石腊2.1树脂3.3聚乙烯2.3聚苯乙烯2.6rrDE0()PE0P1r0DE在真空中，，7计算技巧：a）分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。b）选择适当的闭合面作为高斯面，使中的D可作为常数提出积分号外。SDdS高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对称性的场才有解析解。3.高斯定律的应用84.介质中的电位方程在均匀、各向同性、线性媒质中（为常数）D()EE()E2介质中的泊松方程媒质线性媒质：媒质参数不随电场的值而变化，反之，称为非线性媒质；均匀媒质：媒质参数不随空间坐标而变化，反之，称为非均匀媒质；各向同性媒质：媒质特性不随电场的方向改变,反之，称为各向异性媒质。E0在的区域，则有20介质中的拉普拉斯方程9SDdSq343qa23443Drr34qrDa3()4rqrDeraa例1：已知半径为a，介电常数为的介质球带电荷为q，球外为空气，分别在下列情况下求空间各点的电场和介质中的极化电荷分布：1）电荷q均匀分布在球体内；2）电荷q集中在球心；3）电荷q均匀分布在球面上。解：1）电荷q均匀分布在球体内时，电场分布为33qra1013()4rqrEeraa220()4rqEerar1PP221()rArArr20231()()4Pdqrrrdra1||PraraPn介质球内，极化电荷分布为球坐标中，r=a的球面上，3()4rqrDeraa10[()]E10()E033()4qa01()|rraEe02()4qa1112()4rqEerar220()4rqEerar1PP20221()()04dqrrdrr0r处，r=0处为电场的奇异点，该处应有一极化点电荷，设此极化点电荷为qP，根据高斯定理，有2）电荷q集中在球心时，电场分布为10()E1||PraraPn在r=a的球面上，01()|rraEe020()4qa1220244Pqrqqr0Pqq10()Era220()4rqEerar1PP1||0PraraPn取S为以介质球心为中心，r(ra)为半径的球面，介质球内，在r=a的球面上，10PSEdSqq3）电荷q均匀分布在球面上时，电场分布为10[()]0E13其中为一常数。1)计算束缚电荷体密度和面密度；2)计算自由电荷体密度；3)计算球内、外的电场和电位分布。例2:一个半径为、介电常数为的均匀介质球内的极化强度为arerKPK222)(1rKrKrdrdrPPaKPePnarrarP|ra在的球面上，束缚电荷面密度为解：1)介质球内的束缚电荷体密度为14PED0PDPED00PD)1(02000()PKDPrVaaKdrrrKdVq022004412)由于，所以即总的自由电荷量由此得到介质球内的自由电荷体密度为15)()(20001arrKePEr)()(4200202arraKerqeErr1122000000()()ln()()()aarraraKaKEdlEdrEdrdrdrrrKaKrar2220000()()()rraKEdrdrraKrar3）介质球内、外的电场强度分别为介质球内、外的电位分别为2媒质21媒质1分界面nD1D20hS1216三、静电场的边界条件介质特性突变场突变边界条件：揭示介质两边电场之间的联系。1、的边界条件D如图，柱形面上、下底面积ΔS很小，故穿过截面ΔS的电通量密度可视为常数，假设柱形面的高h→0，则其侧面积可以忽略不计。SDdSq12()DDn设分界面上存在的自由面电荷密度为，由高斯定理12SDdSDnSDnSS1712nnDD12()DDn说明：1)为分界面上自由电荷面密度，不包括自由极化电荷。2）若媒质为理想媒质，则0120nnDD结论：若边界面上不存在自由电荷，则法向连续。D182、的边界条件E由于静电场是保守场，将这一结论应用于穿越媒质分界面的矩形闭合路径abcda，如图所示。当h→0时bc和da对积分的贡献可忽略不计，因此有120lEdlEtlEtl0lEdl12()0tEEsnt1媒质1分界面2媒质2E1atE2aln12s0hdbctns1912()0tEE12ttEE上式表明：分界面上电场强度的切向分量总是连续的。snt12()()0snEE)()()(bacacbcba12[()]0snEE12bscnaEE因回路是任取的，对于不同的s取向，上式总是成立的，故有12()0nEE1122sinsinEE203、折射定律212En1E212D1D12()0DDn12()0EEn11221122coscossinsinDDEE1122tantan在理想媒质分界面上，。设分界面两侧的电场与法线的夹角分别为θ1和θ2，则有：0n在两种不同介质的分界面上，电场强度和电位移矢量一定会改变方向，只有当θ1或θ2等于零时，分界面上的电场方向才不改变，像平行板、同轴线和同心球中的电场就是这种情况。DE折射定律214、电位的边界条件设P1与P2位于分界面两侧，0d1200lim0ddEdl12因此电位连续121n11n12n22n2,DEDEnn1212nn得电位的法向导数不连续由，其中2n1nDD225、导体表面上的边值关系常数s|snnEdSndSQSS2n1n1t2tDDEE，121212,nn由边界面上的边界条件得nt0DE，在分解面介质一侧，有0E导体中,（2）导体表面上任一点的Dn等于该点的。说明（1）导体表面是等位面，线与导体表面垂直；E23应用高斯定理求解边值问题步骤：1)根据电荷分布，判断电场方向；2)判断电场方向与边界面关系（垂直或相切）；3)应用边界条件，判断是连续还是连续。DE4)应用高斯公式求解，一般用求解SDdSq24分析：电场方向沿径向，在介质1和介质2的分界面上，电场平行于介质分界面，由边界条件可知:SDdSq2122()rDDq解：1)由高斯定律例3：球形电容器内导体半径为a，外球壳半径为b。其间充满介电常数为和的两种均匀媒质。设内导体带电荷为q，外球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。1)两球壳间的电场和电位分布；2)极化电荷分布；3)导体表面上的自由电荷面密度。12ab12q12ttEEE111ED222EDEEE21252122()rEEq212()2()rqEearbr12()()2()qbrarbbr21212()brqdrr()brrEdl1110()PE2220()PE2）介质中的极化强度20212()2()rqer10212()2()rqer2611PP22PP介质内的体极化电荷密度为11|rParaeP22|rParaeP11|rPbrbeP22|rPbrbeP介质内表面上的面极化电荷密度为介质外表面上的面极化电荷密度为10212()2()qa20212()2()qa10212()2()qb20212()2()qb2102212()11()02()qdrrdrr2202212()11()02()qdrrdrr2711|raraeE22|raraeE11|rbrbeE22|rbrbeE3)内导体表面上自由电荷面密度为外导体的内表面上自由电荷面密度为1212()PnPP在两种介质的分界面上12()0ePP12122()qa22122()qa12122()qb22122()qb28例4：同轴线内导体半径为a，外导体半径为b。内外导体间充满介电常数分别为和的两种理想介质，分界面半径为c。已知外导体接地，内导体电压为U。求:(1)导体间的和分布；(2)同轴线单位长度的电容12ED分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可知，在媒质两边连续D解：设内导体单位长度带电量为l由高斯定律，可以求得两边媒质中，2lrDer1122//EDED12cbacUEdrEdrabc122912cbacUEdrEdr12lnln22llcbac12212lnl