1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件基础知识自主学习要点梳理1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的语句叫做命题．其中的语句叫真命题，的语句叫假命题．判断真假判断为真判断为假2．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题否命题逆否命题若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性．逆命题逆否命题否命题相同没有关系3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的.充分条件必要条件充要条件[难点正本疑点清源]1．用集合的观点，看充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．2．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．这就是常说的“正难则反”．基础自测1．下列命题中所有真命题的序号是________．①“ab”是“a2b2”的充分条件；②“|a||b|”是“a2b2”的必要条件；③“ab”是“a＋cb＋c”的充要条件．解析①由2－3⇒22(－3)2知，该命题为假；②a2b2⇒|a|2|b|2⇒|a||b|，该命题为真；③ab⇒a＋cb＋c，又a＋cb＋c⇒ab；∴“ab”是“a＋cb＋c”的充要条件为真命题．②③2．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题，其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号填在横线上)．解析①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③由于原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题．故填②③.②③3．已知a，b是实数，则“a0且b0”是“a＋b0且ab0”的____________条件．解析对于“a0且b0”可以推出“a＋b0且ab0”，反之也是成立的．充分必要4．(2010·福建改编)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的条件.解析由x＝4知|a|＝42＋32＝5；反之，由|a|＝x2＋32＝5，得x＝4或x＝－4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件.充分而不必要5．已知函数y＝lg(4－x)的定义域为A，集合B＝{x|xa}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_____．a4题型分类深度剖析题型一四种命题及其关系例1设原命题是“当c0时，若ab，则acbc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．思维启迪先分清原命题的大前提，命题的条件和结论；再写其他命题．解“当c0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是ab，结论是acbc.因此它的逆命题：当c0时，若acbc，则ab.它是真命题；否命题：当c0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；逆否命题：当c0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题．探究提高在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”；要判定命题为假命题时只需举反例；对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．变式训练1若a、b、c∈R，写出命题“若ac0，则ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．解逆命题“若ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)有两个不相等的实数根，则ac0”是假命题，如当a＝1，b＝－3，c＝2时，方程x2－3x＋2＝0有两个不等实根x1＝1，x2＝2，但ac＝20.否命题“若ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根”是假命题．这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题．逆否命题“若ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根，则ac≥0”是真命题．因为原命题是真命题，它与原命题等价．题型二充分、必要、充要条件的概念与判断例2指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sinA＝sinB；(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.思维启迪首先分清条件和结论，然后根据充要条件的定义进行判断．解(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sinA＝sinB，反之，若sinA＝sinB，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条件．(2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，显然綈q⇒綈p，但綈p⇒綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件．(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但q⇒p，故p是q的充分不必要条件．探究提高判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．变式训练2给出以下四个条件：①ab0；②a0或b0；③a＋b2；④a0且b0.其中可以作为“若a，b∈R，则a＋b0”的一个充分而不必要条件的是________．解析①不是题中结论的充分条件，如a＝－1，b＝－2；②不是题中结论的充分条件，如a＝1，b＝－2；③④是题中结论的充分而不必要条件，a＋b2⇒a＋b0，但反之不成立；a0且b0⇒a＋b0，但反之不成立．故填③④.③④题型三充要条件的证明例3求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.思维启迪需证明充分性和必要性．证充分性时，可分a＝0，a0和0a≤1三种情况证明；证必要性，就是寻找方程有一个负根和两个负根的条件．证明充分性：当a＝0时，方程为2x＋1＝0，其根为x＝－12，方程有一个负根，符合题意．当a0时，Δ＝4－4a0，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，且1a0，方程有一正一负根，符合题意．当0a≤1时，Δ＝4－4a≥0，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，且－2a01a0，故方程有两个负根，符合题意．综上知：当a≤1时，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根．必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根．当a＝0时，方程为2x＋1＝0符合题意．当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0应有一正一负根或两个负根．则1a0或Δ＝4－4a≥0－2a01a0.解得a0或0a≤1.综上知：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一负根，则a≤1.故关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.探究提高(1)条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性．(2)证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．(3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论．变式训练3求证：方程x2＋ax＋1＝0的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|3，这个条件是其充分条件吗？为什么？证明设x2＋ax＋1＝0的两实根为x1，x2，则平方和大于3的等价条件是Δ＝a2－4≥0，x21＋x22＝x1＋x22－2x1x2＝－a2－23，即a5或a－5.∵{a|a5或a－5}{a||a|3}，∴|a|3这个条件是必要条件但不是充分条件.易错警示2．充要条件判断不准致误试题：(5分)已知不等式|x－m|1成立的充分不必要条件是13x12，则m的取值范围是____________．审题视角(1)“13x12”是“|x－m|1”的充分条件，但不是必要条件．(2)从集合的角度看，若设A＝x|13x12，B＝x||x－m|1，则AB.解析由题意知：13x12是不等式|x－m|1成立的充分不必要条件．所以x|13x12是{x||x－m|1}的真子集．而{x||x－m|1}＝{x|－1＋mx1＋m}，所以有－1＋m≤131＋m≥12，解得－12≤m≤43.所以m的取值范围是－12，43.正确答案－12≤m≤43批阅笔记本题考查的重点是根据充要条件构造不等式求参数范围．出现错误的关键是误认为“|x－m|1”是“13x12”的充分不必要条件．在充要条件的判断问题中，通常有两种叙述方式“甲是乙的什么条件”，“甲的一个什么条件是乙”，这两种说法恰好相反．第一种形式比较好理解，所以在判断充要条件时，应先把语句改成第一种形式，然后再进行相关分析.思想方法感悟提高方法与技巧1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或n个)作为大前提．2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的．3．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．失误与防范1．否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论．要注意区别．2．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．返回