1.2 随机事件的概率解析

1.2随机事件的概率对于一个随机事件来说，在一次试验中可能发生，也可能不发生，我们希望有一个能刻划随机事件发生的可能性大小的数量指标，即概率，以P(A)表示事件A的概率。,,,AnnnAA在相同的条件下进行了次试验在这次试验中事件发生的次数称为事件发生的频数。定义1.31.2.1频率的定义与性质,()nAAAnnf比值称为事件发生的并记成频率。2.频率的性质设A是随机试验E的任一事件,则(1)0()1;nfA(2)()1,()0;fSf12(3),,,,kAAA若是两两互不相容的事件则1212()()()()knnnkfAAAfAfAfA。Hnnf将一枚硬币连续抛掷次,观察正实面出现的次数及频率例。实验者德摩根蒲丰nHnf皮尔逊K皮尔逊K204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005从上述数据可得(1)频率有随机波动性,即对于同样的n,所得的f不一定相同;(2)抛硬币次数n较小时,频率f的随机波动幅度较大,但随n的增大,频率f呈现出稳定性.即当n逐渐增大时频率f总是在0.5附近摆动,且逐渐稳定于0.5。实验者德摩根蒲丰nHnf皮尔逊K皮尔逊K204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005)(Hf的增大n12。重要结论频率当n较小时波动幅度比较大，当n逐渐增大时，频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小。它就是事件的概率。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展。1.2.2概率的公理化定义与性质:)(,,)(,.,满足下列条件如果集合函数的概率件称为事记为赋予一个实数的每一事件对于是它的样本空间是随机试验设PAAPAESE(1):,()0;APA对于每一个事件有负非性(2):,()1;SPS对于必然事件有规范性12(3):,,,,,,1,2,,ijAAijAAij设是两两互不相容的事件即对于则有可列可加性)()()(2121APAPAAP概率的可列可加性1.概率的定义1.4(1)()0。P2.性质概率的有限可加性则有是两两互不相容的事件若,,,,)2(21nAAA1212()()()()。nnPAAAPAPAPA(3),()1()AAPAPA设对则。是的立事件,1)(,,SPAASAA因为()1()。PAPA证明)()(1AAPSP所以()()。PAPA(4),,,()(),()()()ABABPAPBPBAPBPA设为两个则。事件且证明BA,BA因为()所以。BABA,)(AAB又()()()得。PBPAPBA,0)(ABP又因()()故。PAPB()()()于是。PBAPBPA证明(5),()1APA对于任一事件。SA,1)()(SPAP()1故。PA(6)(),()()()()加法公式对于任意两事件有。ABPABPAPBPAB证明AB由图可得),(ABBABA,)(ABBA且()()()故。PABPAPBAB又由性质3得因此得AB),()()(ABPBPABBP()()()()。PABPAPBPAB推广三个事件和的情况)(321AAAP123122313123()()()()()()()。PAPAPAPAAPAAPAAPAAAn个事件和的情况)(21nAAAP11()()niijiijnPAPAA1121()(1)()。nijknijknPAAAPAAA定义性质(1):()0PA负非性(2):()1PS规范性(3):ijAA可列可加性1212()()()PAAPAPA(1)()0。P12(2):AA有限可加性1212()()()PAAPAPA(3),()()ABPAPB设()()()PBAPBPA。(4)()1PA。(5)()1()PAPA。(6)一般的法公式加()()()()PABPAPBPAB解(1)由图示得()()PBAPB故(2)由图示得112311,,32(1)(1;2)3)(.;ABPBAABAB设事件的概率分别为和求在下列两种情况下的值。与互斥例BASSAB()()()PBAPBPA16。12。例1.4若A与B同时发生时事件C必发生，1PCPAPB证明ABC证明PAPBPABPCPAB1PAPB结论成立。例1.5某网店开展送货上门服务，服务质量的优劣按照网店是否能按期交货以及是否能准确交货来评价，根据统计资料，已知其能按期交货（记为事件A）的概率为0.9，能准确交货（记为事件B)的概率为0.95，既能按期交货又能够准确交货的概率为0.88.问（1）既不能按期交货又不能准确交货的概率是多少？（2）服务质量不好的概率是多少？解由题意，P(A)=0.9,P(B)=0.95,P(AB)=0.88.(1)事件“既不能按期交货又不能准确交货”可以表示为，所以AB()()1()PABPABPAB11088003()()()..PAPBPAB0.90.95（2）不能按期交货或不能准确交货，均意味着“服务质量不好”，因此事件“服务质量不好”可以表示为，于是，所求的概率为AB()()1()PABPABPAB10.880.12