选修1-1课件2.3.2抛物线的简单几何性质

yl.FMd.xOK1、抛物线的定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.FlFlpxy22抛物线的,02p焦点坐标是：准线方程为：.2px标准方程图形焦点准线)0(22ppxy)0(22ppyxxyoF.xyFo)0,2(pF.yxoF2px)2,0(pFxoyF2py)0(22ppxy)0,2(pF2px)0(22ppyx)2,0(pF2py2、抛物线的标准方程：x≥0,y∈R关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.抛物线有许多重要性质，我们根据抛物线的标准方程:220ypxp研究它的一些简单几何性质1.范围：2.对称性：3.顶点：y.xoF抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,它的顶点就是坐标原点.e=1|PF|=x0+p/2xOyFM通径的长度：2P4.离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率.用e表示：5.焦半径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物的通径。6.通径：方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的e=1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！例1.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且过点M，求它的标准方程.(2,22)x解：因为抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M，所以，可设它的方程为x(2,22),022ppxy因为点M在抛物线上，所以,22222p即2p因此，所求抛物线的标准方程是:xy42例2.斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点,且与抛物线相交于AB、两点,求线段AB的长.ABl想一想这是一道简单，但解法丰富的典型的抛物线问题，你能给出它的几种解法吗？法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.具体步骤有同学们给出.8ABABl倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,求,(1)求|AB|;(2)求|AB|的最小值.22sinpABABl答：分析:用坐标法解决这个问题,只要讨论直线的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况,由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点个数.例3.已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?解:依题意直线l的方程为1(2)ykx联立21(2)(*)4ykxyx你认为是消x呢,还是消y呢?消去x可得244(21)0kyyk(Ⅰ)当0k时,方程(Ⅰ)只有一解,∴直线与抛物线只有一个公共点.当0k时,方程(Ⅰ)的根的判别式△=216(21)kk①当△=0时,1k1或2.这时，直线与抛物线只有一个公共点.l②由即,02210,kk解得.211k于是，当且时，方程（Ⅰ）有2个解，从而，方程组（Ⅰ）有两个解，这时，直线与抛物线有2个公共点.11,2k0kl③由即,0,0122kk②由即,02210,kk解得.211k于是，当且时，方程（Ⅰ）有2个解，从而，方程组（Ⅰ）有两个解，这时，直线与抛物线有2个公共点.11,2k0kl③由即,0,0122kk解得.211kk或于是，当时，方程没有实数解，从而方程组（Ⅰ）没有解，这时，直线与抛物线没有公共点.211kk，或l综上可得：当时，直线与抛物线只有一个公共点;0,21,1kkk或或l当时，直线与抛物线有两个公共点;0,211kk且l当时，直线与抛物线没有公共点.21,1kk或l你能通过作图验证这些结论吗？判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离总结：1)过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为;28yx452)设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为则为;oFpxy220pAFAx60OA3）抛物线上的点到直线的距离的最小值是（）2xy0834yx34.A57.B58.C3.D16212pA