选修2-3第一章排列组合与二项式定理 北师大版

选修2-3[键入文字]排列组合与二项式定理1/561.1基本计数原理（第一课时）教学目标：（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教学重点：（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教学过程一、复习引入：一次集会共50人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来，问你共有多少种不同走法？二、讲解新课：问题1春天来了，要从济南到北京旅游，有三种交通工具供选择：长途汽车、旅客列车和客机。已知当天长途车有2班，列车有3班。问共有多少种走法？设问1：从济南到北京按交通工具可分____类方法?第一类方法,乘火车，有___种方法;第二类方法,乘汽车，有___种方法;∴从甲地到乙地共有__________种方法设问2：每类方法中的每种一方法有什么特征？问题2：春天来了，要从济南到北京旅游，若想中途参观南开大学，已知从济南到天津有3种走法，从天津到北京有两种走法；问要从济南到北京共有多少种不同的方法？从济南到北京须经____再由_____到北京有____个步骤第一步,由济南去天津有___种方法第二步,由天津去北京有____种方法,设问2：上述每步的每种方法能否单独实现从济南村经天津到达北京的目的?1分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有K种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有nK种方法可以完成。那么，完成这件工作共有n1+n2+……+nK种不同的方法。1.标准必须一致,而且全面、不重不漏！2“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的即：它们两两的交集为空集！3每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。那么，完成这件工作共有n1×n2×……×nK种不同方法选修2-3[键入文字]排列组合与二项式定理2/561标准必须一致、正确。2“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉。3若完成某件事情需n步,每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分且必须依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。三、例子例1．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？解：（1）从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法根据分类计数原理，不同取法的种数是4+3+2=9种所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法；（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本艺术书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是43224种所以，从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法例2．一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数号码？解：每个拨号盘上的数字有10种取法，根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字号码的个数是1010101010000N，所以，可以组成10000个四位数号码例3．要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？解：从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班两个步骤完成，先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有2种选法根据分步技数原理，不同的选法数是326N种，6种选法可以表示如下：日班晚班甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙所以，从3名工人中选出2名分别上日班和晚班，6种不同的选法例4，若分给你10块完全一样的糖，规定每天至少吃一块，每天吃的块数不限，问共有奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆选修2-3[键入文字]排列组合与二项式定理3/56多少种不同的吃法？n块糖呢？课堂小节：本节课学习了两个重要的计数原理及简单应用课堂练习：课后作业：1.1基本计数原理（第二课时）教学目标：会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教学重点：会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教学过程一、复习引入：1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有nk种方法可以完成。那么，完成这件工作共有n1+n2+……+nk种不同的方法。2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。那么，完成这件工作共有n1×n2×……×nk种不同方法二、讲解新课：例1书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？例2在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?解:取ba与取ab是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有(10×9)/2=45种取法.根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法.例3如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()A.180B.160C.96D.60奎屯王新敞新疆选修2-3[键入文字]排列组合与二项式定理4/56若变为图二,图三呢?(240种,5×4×4×4=320种)例575600有多少个正约数?有多少个奇约数?解:75600的约数就是能整除75600的整数,所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数的个数.由于75600=24×33×52×7(1)75600的每个约数都可以写成lkjl7532的形式,其中40i,30j,20k,10l于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即lkji,,,分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.(2)奇约数中步不含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成lkj753的形式,同上奇约数的个数为4×3×2=24个.课堂小节：本节课学习了两个重要的计数原理的应用课堂练习：课后作业：1.2.1排列（第一课时）教学目标：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导教学重点：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导教学过程一、复习引入：1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有nk种方①③④②①②③④④③②①图一图二图三选修2-3[键入文字]排列组合与二项式定理5/56法可以完成。那么，完成这件工作共有n1+n2+……+nk种不同的方法。2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。那么，完成这件工作共有n1×n2×……×nk种不同方法二、讲解新课：1．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一．定的顺序．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号mnA只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：求mnA以按依次填m个空位来考虑(1)(2)(1)mnAnnnnm，排列数公式：(1)(2)(1)mnAnnnnm=!()!nnm（,,mnNmn）说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1nm，共有m个因数；（2）全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)21!nnAnnnn（叫做n的阶乘）4.例子：例1．计算：（1）316A；（2）66A；（3）46A．解：（1）316A＝161514＝3360；奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆选修2-3[键入文字]排列组合与二项式定理6/56（2）66A＝6!＝720；（3）46A＝6543＝360例2．（1）若17161554mnA，则n，m．（2）若,nN则(55)(56)(68)(69)nnnn用排列数符号表示．解：（1）n17，m14．（2）若,nN则(55)(56)(68)(69)nnnn＝1569nA．例3．（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：（1）255420A；（2）5554321120A；（3）2141413182A课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导课堂练习：课后作业：1.2.1排列（第二课时）教学目标：掌握解排列问题的常用方法教学重点：掌握解排列问题的常用方法教学过程一、复习引入：1．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一．奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆选修2-3[键入文字]排列组合与二项式定理7/56定的顺序．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号mnA只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：(1)(2)(1)mnAnnnnm（,,mnNmn）全排列数：(1)(2)21!nnAnnnn（叫做n的阶乘）二、讲解新课：解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了