高中数学【配套课件】第六章6.2等差数列及其前n项和

§6.2等差数列及其前n项和数学苏(文)第六章数列基础知识题型分类思想方法练出高分1．等差数列的概念如果一个数列，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是.基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数公差dan＝a1＋(n－1)d.(1)定义法：an－an－1＝d(n≥2)；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2.1.等差数列的判断方法基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理3．等差中项如果，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋，(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为.(1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(2)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(3)S2n－1＝(2n－1)an.2.等差数列与等差数列各项和的有关性质A＝a＋b2(n－m)dak＋al＝am＋an2d基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为的等差数列．5．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝.在d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于n的二次函数，二次项系数为d2，且常数项为0.3.等差数列与函数mdna1＋an2Sn＝na1＋nn－12d基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理在d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于n的二次函数，二次项系数为d2，且常数项为0.3.等差数列与函数6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn，(A、B为常数)．7．等差数列的最值在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最___值；若a10，d0，则Sn存在最___值．大小基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析1234588基础知识·自主学习基础自测20153534基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一等差数列基本量的计算解析探究提高思维启迪【例1】(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差．解析探究提高思维启迪等差数列基本量的计算【例1】(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一解(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.解析探究提高思维启迪等差数列基本量的计算【例1】(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝n[1＋3－2n]2＝2n－n2.由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，解析探究提高思维启迪等差数列基本量的计算【例1】(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．解析探究提高思维启迪等差数列基本量的计算【例1】(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析变式训练1设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．解(1)由题意知S6＝－15S5＝－3，a6＝S6－S5＝－8.所以5a1＋10d＝5，a1＋5d＝－8.解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)方法一∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9da1＋10d2＋1＝0.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析变式训练1设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．因为关于a1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，解得d≤－22或d≥22.方法二∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9da1＋10d2＋1＝0.故d的取值范围为d≤－22或d≥22.故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二【例2】(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．等差数列的前n项和及综合应用解析思维启迪探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二等差数列的前n项和及综合应用【例2】(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．解析思维启迪探究提高(1)由a1＝20及S10＝S15可求得d，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解．(2)利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二解(1)方法一∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d,∴d＝－53.等差数列的前n项和及综合应用【例2】(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．解析思维启迪探究提高∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋653.∴a13＝0，即当n≤12时，an0，n≥14时，an0，∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋12×112×－53＝130.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二方法二同方法一求得d＝－53.等差数列的前n项和及综合应用【例2】(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．解析思维启迪探究提高∴Sn＝20n＋nn－12·－53＝－56n2＋1256n＝－56n－2522＋312524.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.方法三同方法一求得d＝－53.又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.∴5a13＝0，即a13＝0.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二∴当n＝12或13时，Sn有最大值．且最大值为S12＝S13＝130.等差数列的前n项和及综合应用【例2】(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．解析思维启迪探究提高(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．令an＝4n－250，①an＋1＝4n＋1－25≥0，②基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二由①得n614；由②得n≥514，所以n＝6.等差数列的前n项和及综合应用【例2】(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．解析思维启迪探究提高设{|an|}的前n项和为Tn，则Tn＝21n＋nn－12×－4n≤666＋3n－6＋n－6n－72×4n≥7＝－2n2＋23nn≤6，2n2－23n＋132n≥7.即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|＝a7＝4×7－25＝3.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值．等差数列的前n项和及综合应用【例2】(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．解析思维启迪探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2(2012·湖北)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．题型分类·深度剖析解(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.由题意得3a1＋3d＝－3，a1a1＋da1＋2d＝8，解得a1＝2，d＝－3，或a1＝－4，d＝3.所以由等差数列通项公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2(2012·湖北)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若a2，a3