高中数学【配套课件】第六章6.4数列求和

§6.4数列求和数学苏(文)第六章数列基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理1．等差数列前n项和Sn＝＝，推导方法：；等比数列前n项和Sn＝推导方法：乘公比，错位相减法．na1＋an2na1＋nn－12d倒序相加法na1qqan1)1(1q＝1qqaan11＝，q≠1.1.解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理2．数列求和的常用方法(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．2．等价转化思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决．基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.2．等价转化思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决．基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理3．常见的拆项公式(1)1nn＋1＝1n－1n＋1；(2)12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；(3)1n＋n＋1＝n＋1－n.2．等价转化思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决．基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345基础知识·自主学习基础自测-2511054255100101基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一分组转化求和解析探究提高思维启迪【例1】已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：(1)p，q的值；(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一第(1)问由已知条件列出关于p、q的方程组求解；第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解．解析探究提高思维启迪分组转化求和【例1】已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：(1)p，q的值；(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一解(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解析探究提高思维启迪分组转化求和解得p＝1，q＝1.【例1】已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：(1)p，q的值；(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．(2)由(1)，知xn＝2n＋n，所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n＋1－2＋nn＋12.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．解析探究提高思维启迪分组转化求和【例1】已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：(1)p，q的值；(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析变式训练1求和Sn＝1＋1＋12＋1＋12＋14＋…＋1＋12＋14＋…＋12n－1.解和式中第k项为ak＝1＋12＋14＋…＋12k－1＝1－12k1－12＝21－12k.∴Sn＝21－12＋1－122＋…＋1－12n＝2[(1＋1＋…＋1)－(12＋122＋…＋12n)]＝2n－121－12n1－12＝12n－1＋2n－2.n个基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二【例2】设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，n∈N*.(1)求数列{an}的通项；(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.错位相减法求和解析思维启迪探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二错位相减法求和解析思维启迪探究提高(1)由已知写出前n－1项之和，两式相减．(2)bn＝n·3n的特点是数列{n}与{3n}之积，可用错位相减法．【例2】设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，n∈N*.(1)求数列{an}的通项；(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二解(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，①错位相减法求和解析思维启迪探究提高∴当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13，②①－②得3n－1an＝13，∴an＝13n.【例2】设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，n∈N*.(1)求数列{an}的通项；(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.在①中，令n＝1，得a1＝13，适合an＝13n，∴an＝13n.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二(2)∵bn＝nan，∴bn＝n·3n.错位相减法求和解析思维启迪探究提高∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.④④－③得2Sn＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，【例2】设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，n∈N*.(1)求数列{an}的通项；(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.即2Sn＝n·3n＋1－31－3n1－3，∴Sn＝2n－13n＋14＋34.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n－1an}的前n项和，从而利用an与Sn的关系求出通项3n－1an，进而求得an；另外乘公比错位相减是数列求和的一个重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养．错位相减法求和解析思维启迪探究提高【例2】设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，n∈N*.(1)求数列{an}的通项；(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析变式训练2(2011·辽宁)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列an2n－1的前n项和．解(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得a1＋d＝0，2a1＋12d＝－10，解得a1＝1，d＝－1.故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(2)设数列an2n－1的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋a22＋…＋an2n－1，①故S1＝1，Sn2＝a12＋a24＋…＋an2n.②基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析所以，当n＞1时，①－②得Sn2＝a1＋a2－a12＋…＋an－an－12n－1－an2n＝1－(12＋14＋…＋12n－1)－2－n2n＝1－(1－12n－1)－2－n2n＝n2n.所以Sn＝n2n－1.当n＝1时也成立．综上，数列an2n－1的前n项和Sn＝n2n－1.变式训练2(2011·辽宁)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列an2n－1的前n项和．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三裂项相消法求和【例3】在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝anSn－12.(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝Sn2n＋1，求{bn}的前n项和Tn.思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三裂项相消法求和第(1)问利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)后，再同除Sn－1·Sn转化为1Sn的等差数列即可求Sn.第(2)问求出{bn}的通项公式，用裂项相消求和．思维启迪解析探究提高【例3】在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝anSn－12.(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝Sn2n＋1，求{bn}的前n项和Tn.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三裂项相消法求和解(1)∵S2n＝anSn－12，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，思维启迪解析探究提高∴S2n＝(Sn－Sn－1)Sn－12，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，①由题意Sn－1·Sn≠0，①式两边同除以Sn－1·Sn，得1Sn－1Sn－1＝2，【例3】在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝anSn－12.(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝Sn2n＋1，求{bn}的前n项和Tn.∴数列1Sn是首项为1S1＝1a1＝1，公差为2的等差数列．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三裂项相消法求和∴1Sn＝1＋2(n－1)＝2n－1,∴Sn＝12n－1.(2)又bn＝Sn2n＋1＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，思维启迪解析探究提高∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n－1－12n＋1)]＝121－12n＋1＝n2n＋1.【例3】在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝anSn－12.(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝Sn2n＋1，求{bn}的前n项和Tn.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三裂项相消法求和使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．思维启迪解析探究提高【例3】在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝anSn－12.(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝Sn2n＋1，求{bn}的前n项和Tn.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析变式训练3已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝anan＋12，n∈N*.(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设bn＝12Sn，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.(1)证明∵Sn＝anan＋12，n∈N*，∴当n＝1时，a1＝S1＝a1a1＋12(an0)，∴a1＝1.当n≥2时，由2Sn＝a2n＋a