高中数学专题：函数专题之值域问题

函数专题之值域问题主讲人:何洋北京大学光华管理学院写在前面的话•我学习高中数学的经验：多思考——为什么?多做题——区别于题海多总结•其中总结是关键01x写在前面的话函数求值域问题（含求最大值最小值），是在实数范围内来讨论的。中学教材中没有专门的章节来论述，散见于根式，二次函数，幂、指、对数函数，三角函数，反三角函数，平均值不等式，复数，立体几何，解析几何等问题中，然而在高考中，年年都考这一知识点。函数求值域问题既是重点又是难点，在复习时将其方法规范化，作为一个专题看待，又能起到前后联系的作用。常用方法•观察综合法•反函数的定义域法•根的判别式法•平均值不等式法•数型结合法•换元法•等价变化放缩法观察综合法2222222244,0,[,],04444,[,].4432,(1)4,sin3sinacbacbyabcayaaaacbacbyaayxxyxyxx此类型题目函数结构比较简单,解法为根据已知基本函数底值域求所给函数值域,例如二次函数当时有最小值即当时有最大值即然而在解题中往往需要依据各种题设条件综合考虑,有时定义域受限制,常用配方法.如配方为再如2221(2)12351,sin,(sin),241sin115.sin().2,log,(),(),,,.,xxxxxyxxyyAxbyyyfttgx此时自变量为配方为由于故有对于正余弦混和的函数,常常通过三角恒等变换化为而对于一些简单的复合函数如等只需分步考虑注意函数单调性奇偶性问题都能得到解决由于此类问题往往较为简单故常集中于选择题和填空题中出现.观察综合法——例子22221.2:022110221{|0}.2yxxxxyy[例1]求函数的值域解故此函数的值域为求反函数的定义域法(0)axbyccxd原函数的值域是反函数的定义域，故当函数反函数存在时，求其反函数的定义域便可得出原函数值域，一般形如的函数都可以用此法，但是需要注意的是，在原函数定义域有特别要求时，应综合考虑定义域.求反函数的定义域法——例子5[]25555:25211210211,][,)22xyxxyyxxyyy例2求的值域解由可得解得故原函数的值域为(-5[](13)25555:2521551313212411724[,].117xyxxxyyxxyyxyy例2(变化)求的值域解由可得解得故原函数的值域为利用根的判别式求值域22(0),axbxcyappxqxmy此法主要用于分式函数求值域,形如求值域问题,若分母是恒正或恒负的二次三项式,都可以用判别式法.我们把看作常量去分母后看作自变量的二次方程,由于函数定义域非空,关于自变量的一元二次方程一定有解,这时相当于讨论一个二次方程在实数集内有解的问题,即0.利用根的判别式求值域——例子2222243[]110,4(3)00,4(3)00,16412041030441xyxxRyxxyyxRyxxyyyyyyxRy例3求函数的值域解：恒成立函数的定义域为原式可化为当时恒有实根即解得且当时,显然综上所述[4,1].故原函数的值域为利用根的判别式求值域——例子22225[]243:24350168(35)0055024305(0,5].yxxyxyxyxyyyyyxxy例4求函数的值域解去分母得关于的一元二次方程一定有解解得故原函数的值域为利用平均值不等式求值域1212121212:,,,nnnnnnxxxxxxnxxxxxxxxx依据定理：几个正数的算术平均数不小于这几个数的几何平均数，当函数是几个正因数的积(或几个正加数的和),而这几个因数的和(或加数的积)能将自变量消去(或约去),就可得到函数的值域,但必须注意等号成立的条件.平均值公式必须同时满足的三个条件:①均为正数;②必须保证时,等号成立③12nxxx与中有一个是常数以上三者缺一不可利用平均值不等式求值域——例子1212[](2,0),,,,,:.:(0)2tancos2sin1(csinPlyQABCDCDlABOPOQOPQABCDSSSSADOPQOQPAAOABABADPOPAAOAB例5设过点的动直线交轴正半轴于点正方形两点、在上、分别在线段、上如图记与正方形的面积分别是与求的最小值解设则2122221221sincosos)2sin2sin4sin2tan1sincos(1sincos)2sin(1sincos)sin24sin2414:(sin24)cos4sin4sin24sin211(sin24sABABSSSS3194)(234)in2sin2441sin2,sin21.sin2当且仅当时等号成立yx0ABCDPQ数型结合法22,,(2)3,(,),0,xyyxyxPxyykxk注意问题的几何意义将问题转化为求几何图形中的性质常常可以使问题变得非常简单直观.例如,实数、满足那么的最大值是多少?最小值是多少?将问题转化为求圆上各点与原点的连线的斜率的最大值最小值,设过圆上一点与原点的连线方程为与圆组成方程组,求得的取值范围,问题得解.此类问题可以推广到求某曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等任意二次曲线)上任一点与某一定点的联线的斜率的值域问题,用此法解决很方便.数型结合法——例子22-5YX2222222222225[]1,.215(5):,5(0),501(5)1212102512(12)204800400192xyyxyxyyykxykxxxxyxkxxkxkxkxkxxk例6已知、满足求的取值范围解由于不妨设即带入中得即也即关于一元二次方程一定有解即23840:23235(,23][23,).kkkyx解得或故的取值范围为数型结合法——轻松一下！222222:2()abbccaabc求证abcabc换元法,有些函数的值域不易求得而通过转化可以变为二次函数或三角函数或其它易求得值域的函数时,往往采用换元法,但必须注意新自变量的取值范围.换元法——例子22[]1:1(0)1154yxxxttxtytty例7求函数的值域解令则得222[]sincossincos:sincos(22)1111sincos(1)122221122yxxxxxxtttxxyttty例8求的值域解令则得等价变化法一部分函数求值域的题目,用以上六种方法都难以解决,甚至会导致错误,则可以考虑适当地进行放缩或等价变化,如平方等变化方式.等价变化法——例子[],3,1111::11111111111136322222abcRabcabcabcabcabcabc例9已知且求的最大值.解根据平均值不等式有等价变化法——例子22:111032112112116111111832111yabcyyabcabbccaabbcayabc上一解法是错误的,它忽略了等号成立的条件.正确解法如下:解令显然则得当且仅当时取等号.写在后面的话函数求值域问题（含求最大值最小值）涉及内容庞杂，需要扎实掌握函数基础知识，如各种初等函数的形式、定义域、值域等内容。在掌握基础知识的前提下，多做题目，熟练掌握各种方法，主要掌握不同方法的应用条件和易错之处。做题时要讲究方法，针对弱项，多总结，多思考。祝大家学习顺利，高考成功！谢谢大家!