专题复习 与圆的切线有关的证明与计算

专题复习与圆的切线有关的证明与计算仁德一中保德礼切线的性质定理：圆的切线________于经过切点的半径．技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．切线的判定定理：经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆的切线．证圆的切线技巧：(1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．垂直垂直(2)如果直线与圆没有明确的交点，则过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．有交点，连半径，证垂直1.如图9所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.（1）求证：直线PB与⊙O相切（2）PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC=4.求弦CE的长．（1）证明:过点O作OD⊥PB,连接OC.∵AP与⊙O相切,∴OC⊥AP.又∵OP平分∠APB,∴OD=OC.∴PB是⊙O的切线.∵∴CFOPCPOCSOCP2121（2）解:过C作CF⊥PE于点F.522CPOP在Rt△OCP中，OP=512CF在Rt△COF中，2295OFCOCF∴524593FE在Rt△CFE中，551222EFCFCE【教材原型】如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为_______【解析】连结OC，因为PC为⊙O的切线，所以∠PCO＝90°，在Rt△OCP中，OC＝1，∠P＝30°，所以OP＝2OC＝2，所以PB＝OP－OB＝2－1＝1.【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直。练习：如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC.求证：DE与⊙O相切.一题多解变式训练规范书写(昆明）如图，已知AB是⊙O的直径，过点E的直线EF与AB的延长线交于点F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠FAC。求证：CF是⊙O的切线。（5分）（1）证明：连接OE……………1分∵AE平分∠FAC∴∠CAE=∠OAE又∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAE…………..…2分∴∠CAE=∠OEA∴OE∥AC…………………....…3分∴∠OEF=∠ACF又∵AC⊥EF∴∠OEF=∠ACF=90°∴OE⊥CF…………………...…4分又∵点E在⊙O上∴CF是⊙O的切线…………..…5分看看你能得几分？变式（广州）如图，∠C=90o，BD平分∠ABC，DE⊥BD，设⊙O是△BDE的外接圆。求证：AC是⊙O的切线。DE⊥BD，设⊙O是△BDE的外接圆变式训练例：如图，已知：为角平分线上一点，于，以为圆心，为半径作圆。求证：是⊙的切线。DODOABODOOACBAC无交点，作垂直，证半径证明：过O作OE⊥AC于E∵AO平分∠BACOD⊥AB∴OE＝OD∵OE是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线E【教材原型】已知：如图，A是圆⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的切线．证明：连结OB，∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，∴AB⊥OB，∴AB为⊙O的切线．【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“连半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”．【中考变形】1．如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO＝BD＝BC.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若半径OB＝2，求AD的长．解：(1)证明：连结OD，∵BO＝BC，∴BD为△ODC的中线．又∵DB＝BC，∴∠ODC＝90°.又∵OD为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∵BO＝BD＝2，∴AB＝2BD＝4，∴AD＝AB2－BD2＝23.2.（2015•昆明）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．证明：（1）如图1，连接OE，∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，∵AE平分∠FAH，∴∠EAO=∠FAE，∴∠FAE=∠AEO，∴AF∥OE，∴∠AFE+∠OEF=180°，∵AF⊥GF，∴∠AFE=∠OEF=90°，∴OE⊥GF，∵点E在圆上，OE是半径，∴GF是⊙O的切线．（2）∵四边形ABCD是矩形，CD=10，∴AB=CD=10，∠ABE=90°，设OA=OE=x，则OB=10﹣x，在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，∴（10﹣x）2+52=x2，∴∴⊙O的直径为．【中考预测】如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D，E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE.(1)求AC，AD的长；(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．解：(1)如图，连结BD，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，AC＝AB2－BC2＝102－62＝8cm.∴AD︵＝BD︵，∴AD＝BD.∴Rt△ABD为等腰直角三角形，AD＝BD＝52cm.∴AC＝8cm，AD＝52cm；(2)直线PC与⊙O相切．理由：如图，连结OC，∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA.∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.∵∠PEC＝∠CAE＋∠ACE，∴∠PCB＋∠ECB＝∠CAE＋∠ACE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB.∴∠PCB＝∠CAE.∴∠PCB＝∠ACO.∵∠ACB＝90°，∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，∴OC⊥PC，∴直线PC与⊙O相切．