第六节行列式按行(列)展开

余子式和代数余子式主要内容引理行列式按行(列)展开法则第六节行列式按行(列)展开三阶行列式的几何意义行列式的计算方法决这个问题,先学习余子式和代数余子式的概念.一般来说,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便,于是,自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题.本节我们要解决的问题是,如何把高阶行列式降为低阶行列式,从而把高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算.为了解一、余子式和代数余子式Aij叫做元素aij的代数余子式.定义在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去后,剩下的元素按它们在原行列式中的相对位置组成的n–1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij；Aij=(–1)i+jMij,记求余子式求余子式模型模型A=21-511-30-602-1214-76式和代数余子式M-30-62-124-76=A-30-62-124-76=11111111元素a的余子分别为=36=361111D=aijAij.二、引理一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除aij外都为0,那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积,即DD==aaijijAAijij..先证aij位于第1行第1列的情形,,00212222111nnnnnaaaaaaaD二、引理二、引理一个一个nn阶行列式阶行列式,,如果其中第如果其中第ii行所有元素除行所有元素除aaijij外都为零外都为零,,那么这行列式等于那么这行列式等于aaijij与它的代数余与它的代数余子式的乘积子式的乘积,,即即此时证明证明DD==aaijijAAijij..先证aij位于第1行第1列的情形,,00212222111nnnnnaaaaaaaD二、引理二、引理一个一个nn阶行列式阶行列式,,如果其中第如果其中第ii行所有元素行所有元素aaijij外都为外都为00,,那么这行列式等于那么这行列式等于aaijij与它的代数与它的代数子式的乘积子式的乘积,,此证明证明或D=a1jA1j+a2jA2j+···+anjAnj(j=1,2,···,n).三、行列式按行(列)展开法则定理3行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即D=ai1Ai1+ai2Ai2+···+ainAin(i=1,2,···,n),这个定理叫做行列式按行（列）展开法则.由行列式的nnnninaaaaaaaD2111121100nnnninaaaaaaa2121121100,002111211nnnninnaaaaaaa+···+得证明证明两数之和两数之和,,则这个行列式等于两个行列式之和则这个行列式等于两个行列式之和,,即即nnnnnnnaaacbcbcbaaa21221111211性质性质55若行列式的某一列若行列式的某一列((行行))的元素都是的元素都是nnnnnnaaabbbaaa212111211.212111211nnnnnnaaacccaaa例任意输入一个三阶或四阶行列式，利用行列式按行（列）展开法则计算.例12行列式113121122322213211111nnnnnnnaaaaaaaaaaaad称为n阶范德蒙德(Vandermonde)行列式.证明.)(1nijjiaad证明证明对n作归纳法.当n=2时，,111221aaaa结论成立.设对于n–1阶范德蒙德行列式结论成立，现在来看n阶的情形.在n阶范德蒙德行列式中，第n行减去第n–1行的a1倍，第n–1行减去第n–2行的a1倍.也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的a1倍，有由或或DD==aa11jjAA11jj++aa22jjAA22jj++……++aanjnjAAnjnj((jj=1,2,=1,2,……,,nn).).定理定理33行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行((列列))的各元的各元素与其对应的代数余子式乘积之和素与其对应的代数余子式乘积之和,,DD==aaii11AAii11++aaii22AAii22++……++aaininAAinin((ii=1,2,=1,2,……,,nn),),还可得下述重要推论.推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即ai1Aj1+ai2Aj2+···+ainAjn=0,ij,或a1iA1j+a2iA2j+···+aniAnj=0,ij.证明证明把行列式D=det(aij)按第j行展开，有,1111112211nnnjnjininjnjnjjjjaaaaaaaaAaAaAa在上式中把ajk换成aik(k=1,2,···,n)，可得证明证明把行列式D=det(aij)按第j行展开，有,1111112211nnnjnjininjnjnjjjjaaaaaaaaAaAaAa在上式中把ajk换成aik(k=1,2,···,n)，可得综合及其推论，有关于代数余子式的重要性质：jijiDDAaijnkkjki当当,0,,δ1或，当当jijiDDAaijnkjkik,0,,δ1其中.,0,,1δjijiij当当或或DD==aa11jjAA11jj++aa22jjAA22jj++……++aanjnjAAnjnj((jj=1,2,=1,2,……,,nn).).定理定理33行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行((列列))的各元的各元素与其对应的代数余子式乘积之和素与其对应的代数余子式乘积之和,,DD==aaii11AAii11++aaii22AAii22++……++aaininAAinin((ii=1,2,=1,2,……,,nn),),仿照上述推论证明中所用的方法，在行列式det(aij)按第i行展开的展开式中，用b1,b2,···,bn依次代替ai1,ai2,···,ain，可得.22111,11,11,11,1111inniinnnniinniinAbAbAbaaaabbaaaa类似地，用b1,b2,···,bn代替det(aij)中的第j列，可得.22111,1,111,111,111njnjjnnjnnjnnnjjAbAbAbaabaaaabaa四四、、三阶行列式的几何意义三阶行列式的几何意义设三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa的行是向量1，2，3在直角坐标系下的坐标,即),,,(1312111aaa),,,(2322212aaa).,,(3332313aaa那么),,,(1312111aaa),,,(2322212aaa).,,(13121132AAA设有三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa令证明例13设,3142313150111253DD的（i,j）元的余子式和代数余子式依次记作Mij和Aij，求A11+A12+A13+A14及M11+M21+M31+M41.解解由公式公式.221111,11,11,11,1111inniinnniinniinAbAbAbaaaabbaaaa.22111,1,111,111,111njnjjnnjnnjnnnjjAbAbAbaabaaaabaa可知A11+A12+A13+A14等于用1,1,1,1代替D的第1行所得的行列式，即314231315011111114131211AAAA计计算算4.1.直接用定义计算;2.利用性质化为三角形行列式;3.利用展开式定理降阶.五、行列式的计算方法到现在为止,我们已能计算任意阶的行列式.行列式的计算是我们这一章的重点,也是同学们必须掌握的基本技能.行列式有以下三种计算方法:行列式时,应根据实际情况灵活选择计算方法.行列式的计算在这三种方法中,方法1主要用于理论分析,很少用来计算具体的行列式,但对于低阶行列式(如二阶、三阶)或有很多零元素的高阶行列式,有时也可用此方法来计算;方法2适用于行列式的阶不确定的高阶行列式的计算;方法3主要用于阶为已知的高阶行列式的计算.当然在计算一个下面看几个例子.下面再举几个n阶行列式计算的例子.例设,111222333222111nnnnnnnnnD证明递推关系式Dn=nDn-1-n-1n-1Dn-2(n2).1222333222111nnnnnnnD按Dn的第n列展开,得证明证明关系式在计算数学中常被引用.Dn是常见的n阶三对角行列式,所证的递推.2112112112112nD例计算n阶行列式=D1+(n-1)=n+1.这是一个三对角行列式,在这里i=2,i=i=1(i=1,2,···,n),由果可得Dn=2Dn-1-Dn-2.适当移项可得关于Dn的递推关系式Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2=Dn-2-Dn-3=···=D2-D1.因D2=4-1=3,D1=2,D2-D1=1,所以Dn=Dn-1+1=(Dn-2+1)+1=···的结解解下面验算此结论,单击此处开始下下面面验验算算此此结结论论,,单单击击此此处处开开始始上例上例设nnnnnnnnnD111222333222111证明递推关系式Dn=nDn-1-n-1n-1Dn-2(n2).例计算n阶行列式.xaaaxaaaxDnxaaaxaanxanxanx)1()1()1(解解r1+r2+···+rnDn=[x+(n-1)a]xaaaxa111本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.