2011高考二轮复习文科数学专题三 1第一讲 等差数列与等比数列

高考·二轮·数学（文科）专题三数列第一讲等差数列与等比数列高考·二轮·数学（文科）考点整合高考·二轮·数学（文科）等差数列的概念及性质考纲点击1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．高考·二轮·数学（文科）基础梳理一、等差数列1．等差数列的定义数列{an}满足________(其中n∈N*，d为与n值无关且为常数){an}是等差数列．2．等差数列的通项公式若等差数列的首项为a1，公差为d，则an＝a1＋________＝am＋________(n，m∈N*)．3．等差中项若x，A，y成等差数列，则A＝________，其中A为x、y的等差中项．4．等差数列的前n项和公式若等差数列首项为a1，公差为d，则其前n项和Sn＝________＝na1＋________.高考·二轮·数学（文科）答案：1.an＋1－an＝d2.(n－1)d(n－m)d3.x＋y24.na1＋an2nn－1d2高考·二轮·数学（文科）整合训练1．(2009年福建卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4,则公差d等于()A．1B.C．－2D．353答案：C高考·二轮·数学（文科）考纲点击等比数列的概念及性质1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．高考·二轮·数学（文科）基础梳理二、等比数列1．等比数列的定义数列{an}满足________＝q(其中an≠0，q是与n值无关且不为零的常数，n∈N*){an}为等比数列．2．等比数列的通项公式若等比数列的首项为a1，公比为q，则an＝a1·________＝am·________(n，m∈N*)．3．等比中项若x，G，y成等比数列，则G2＝________，其中G为x、y的等比中项，G值有________个．4．等比数列的前n项和设等比数列的首项为a1，公比为q，则Sn＝q＝1a11－qn1－q＝q≠1.高考·二轮·数学（文科）1.an＋1an2.qn－1qn－m3.xy两4．na1a1－anq1－q答案：高考·二轮·数学（文科）2．(2010年浙江卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝()A．11B．5C．－8D．－11S5S2答案：D高考·二轮·数学（文科）高分突破高考·二轮·数学（文科）有关等差数列的基本问题(1)将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910根据以上排列的规律，数阵中第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．(2)已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.①求{an}的通项an；②求{an}的前n项和Sn的最大值．高考·二轮·数学（文科）思路点拨：(1)将该数阵中各行的数排成一行，则成一个正整数数列，再注意数阵中第n行有n个数，所以可求该数阵前n－1行共有多少个数，从而可求第n行的第3个数；(2)由a2及a5的值，可求出等差数列{an}的首项a1及公差d，从而求出通项公式an，再由Sn的公式可求出Sn的表达式，利用二次函数求最值即可求出Sn的最大值．解析：(1)从三角数阵可知，第n行从左向右的第3个数应为该正整数列的第1＋2＋3＋…＋(n－1)＋3个数，该数的值为：1＋2＋3＋…＋(n－1)＋3＝nn－12＋3＝n2－n＋62.(2)①设{an}的公差为d，由已知条件得：a1＋d＝1a1＋4d＝－5，解上式得：a1＝3d＝－2，∴通项an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.高考·二轮·数学（文科）②法一：依题意有：Sn＝na1＋nn－12d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4.∴当n＝2时，Sn有最大值4.法二：∵an＝－2n＋5.∴该数列为递减数列，设其前n项和最大，则有an≥0an＋1＜0，即－2n＋5≥0－2n＋1＋5＜0，∴32＜n≤52.又∵n∈N*，∴n＝2，∴{an}的前2项和最大，最大值S2＝2a1＋2×12d＝2×3－2＝4.答案：(1)n2－n＋62(2)见解析高考·二轮·数学（文科）跟踪训练1．已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，bn＝.(1)求公差d的值；(2)若a1＝－，求数列{bn}中最大项和最小项的值．1＋anan52高考·二轮·数学（文科）解析：(1)∵S4＝2S2＋4，∴4a1＋4×32d＝2(2a1＋d)＋4.解得d＝1.(2)∵a1＝－52.∴数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)×1＝n－72.∴bn＝1＋1an＝1＋1n－72.∵函数f(x)＝1＋1x－72在－∞，72和72，＋∞上分别是单调减函数，∴b3＜b2＜b1＜1；当n≥4时，1＜bn≤b4.∴数列{bn}中的最大项是b4＝3，最小项是b3＝－1.高考·二轮·数学（文科）有关等比数列的基本问题设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban－2n＝(b－1)Sn.(1)证明：当b＝2时，{an－n·2n－1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．思路点拨：(1)只需证明为非零常数即可或转化为an＋1－(n＋1)·2n＝(an－n·2n－1)q，q为非零常数．(2)当b＝2时，由(1)可求出{an－n·2n－1}的通项公式，从而得到{an}的通项公式；当b≠2时，构造新数列，求其通项公式．解析：∵ban－2n＝(b－1)Sn，令n＝1得ba1－2＝(b－1)a1，∴a1＝2.又ban－2n＝(b－1)Sn，①∴ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1.②an＋1－n＋1·2nan－n·2n－1高考·二轮·数学（文科）②－①得：ban＋1－ban－2n＝(b－1)an＋1.即an＋1＝ban＋2n.③(1)当b＝2时，由③得an＋1＝2an＋2n，∴an＋1－(n＋1)·2n＝2an＋2n－(n＋1)·2n＝2(an－n·2n－1)．即＝2，又∵a1－1·21－1＝1≠0，∴{an－n·2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2)当b＝2时，由(1)知，an－n·2n－1＝2n－1，∴an＝(n＋1)·2n－1.当b≠2时，由③知：an＋1－n＋1·2nan－n·2n－1高考·二轮·数学（文科）an＋1－12－b2n＋1＝ban＋2n－12－b2n＋1＝ban－b·2n2－b＝ban－12－b2n.∴an－12－b·2n＝a1－22－b·bn－1＝21－b2－bbn－1，∴an＝12－b[2n＋(2－2b)bn－1]，∵a1＝2适合上式，∴an＝12－b[2n＋(2－2b)bn－1]．综上知an＝n＋1·2n－1b＝212－b[2n＋2－2bbn－1]b≠2.高考·二轮·数学（文科）跟踪训练2．已知数列{an}，{bn}是各项均为正数的等比数列，设cn＝(n∈N*)．(1)数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论；(2)设数列{lnan}，{lnbn}的前n项和分别为Sn，Tn.若a1＝2，，求数列{cn}的前n项和．bnanSnTn＝n2n＋1高考·二轮·数学（文科）解析：(1){cn}是等比数列．证明：设{an}的公比为q1(q1＞0)，{bn}的公比为q2(q2＞0)，则cn＋1cn＝bn＋1an＋1×anbn＝bn＋1bn×anan＋1＝q2q1为不等于零的常数，故{cn}为等比数列．(2)数列{lnan}和{lnbn}分别是公差为lnq1和lnq2的等差数列．由条件得nlna1＋nn－12lnq1nlnb1＋nn－12lnq2＝n2n＋1，即2lna1＋n－1lnq12lnb1＋n－1lnq2＝n2n＋1.故对n＝1,2，…，(2lnq1－lnq2)n2＋(4lna1－lnq1－2lnb1＋lnq2)n＋(2lna1－lnq1)＝0.高考·二轮·数学（文科）于是2lnq1－lnq2＝0，4lna1－lnq1－2lnb1＋lnq2＝0，2lna1－lnq1＝0.将a1＝2代入得q1＝4，q2＝16，b1＝8.从而有cn＝8×16n－12×4n－1＝4n.所以数列{cn}的前n项和为：4＋42＋…＋4n＝43(4n－1)．高考·二轮·数学（文科）等差、等比数列综合问题等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn高考·二轮·数学（文科）解析：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0，又q≠0，从而q＝－.12(2)由已知可得a1－a1－122＝3故a1＝4，从而Sn＝41－－12n1－－12＝831－－12n.高考·二轮·数学（文科）跟踪训练3．(2010年陕西卷)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{}的前n项和Sn.na2解析：(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，解得d＝1，d＝0(舍去)，故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝21－2n1－2＝2n＋1－2.nan22＝，高考·二轮·数学（文科）祝您