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第四节统计案例一、回归分析1．定义：对具有的两个变量进行统计分析的一种常用方法．相关关系2．样本点的中心在具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：其中称为样本点的中心．几乎3．相关系数当r＞0时，表明两个变量；当r＜0时，表明两个变量．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间．通常|r|大于时，认为两个变量有很强的线性相关性．正相关负相关越强不存在线性相关关系0.75二、独立性检验1．2×2列联表：假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d2．用K2的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H0，若K2值较大，就拒绝H0，即拒绝事件A与B无关．3．当K2≥3.841时，则有的把握说事件A与B有关；当K2≥6.635时，则有的把握说事件A与B有关；当K2≤2.706时，则认为事件A与B．95%99%无关根据独立性检验的基本思想，得出的两个分类变量有关系，提示：在实际问题中，独立性检验的结论仅仅是一种数学关系，得出的结论也可能犯错误，比如：在推测吸烟与肺癌是否有关时，通过收集、整理、分析数据，我们得到“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有超过99%的把握说明吸烟与患肺癌有关系，或者这个结论出错的概率为0.01以下.但实际上一个人吸烟也不一定会患肺癌，这是数学中的统计思维与确定性思维差异的反映.1．对于事件A和事件B，通过计算得到K2的观测值k≈4.514，下列说法正确的是()A．有99%的把握说事件A和事件B有关B．有95%的把握说事件A和事件B有关C．有99%的把握说事件A和事件B无关D．有95%的把握说事件A和事件B无关解析：由独立性检验知有95%的把握说事件A与B有关．答案：B2．相关系数度量()A．两个变量之间线性相关关系的强度B．散点图是否显示有意义的模型C．两个变量之间是否存在因果关系D．两个变量之间是否存在关系答案：A3．以下对线性相关系数r的叙述中，正确的是()A．|r|∈(0，＋∞)，|r|越大，相关程度越大；反之，相关程度越小B．r∈(－∞，＋∞)，r越大，相关程度越大；反之，相关程度越小C．|r|≤1，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小D．以上说法都不对解析：根据相关系数的定义和计算公式可知，|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．答案：C4．下面是一个2×2列联表则表中a、b处的值分别为________．y1y2总计x1a2173x222527总计b46解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.又∵a＋2＝b，∴b＝54.答案：52、545．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：则________同学的试验结果体现A、B两变量更强的线性相关性．甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103解析：由表可知，丁同学的相关系数r最大且残差平方和m最小，故丁同学的试验结果体现A、B两变量更强的线性相关性．答案：丁分析判断两个变量是否线性相关的常用方法是：(1)利用散点图进行判断．若各数据点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系．此方法直观、形象，但缺乏精确性．(2)利用相关系数r进行判断．操作步骤是：先求相关系数r.计算时要特别细心，避免出现计算错误，然后根据r的值检验所得结果．如果|r|＞0.75，表明变量x与y之间具有很强的线性相关关系．假设关于某设备的使用年限x和支出的维修费用y(万元)，有如下表的统计资料：若由资料知y对x呈线性相关关系，试求：(1)线性回归方程(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0由于题目条件明确告诉,y对x呈线性相关关系,所以可直接代入公式求解.【解】(1)将已知条件制成下表：i12345合计xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3x4916253690于是有＝5－1.23×4＝0.08，回归直线方程是＝1.23x＋0.08.(2)当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时维修费用是12.38万元．1．(2010·广州模拟)许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素的关系时收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)的数据，建立的回归直线方程为＝0.8x＋4.6，斜率的估计值等于0.8说明____________，成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)之间的相关系数________(填“大于0”或“小于0”)．解析：由回归方程知＝4.6，再由x，y表示的实际意义可知0.8的含义，相关系数r＞0.答案：一个地区受9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右大于0独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表；(2)根据公式K2=计算K2的值；(3)查表比较K2与临界值的大小关系，作统计判断．某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性一般61925合计242650试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由．根据公式K2计算后与临界值比较.【解】由∵K2＞6.635，故可以有99%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．2．在本例条件下，如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？解：随机抽查一名学生有50种不同的抽法，积极参加班级工作的学生有18＋6＝24人，故不主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，∴本部分主要内容是变量的相关性及其几种常见的统计方法，在高考中主要是以考查独立性检验、回归分析为主，并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本的统计思想,在高考中多为选择、填空题，也有可能出现解答题,如2009年辽宁高考.(2009·辽宁高考)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：分组[29.86，29.90)[29.90，9.94)[29.94，9.98)[29.98，0.02)[30.02，0.06)[30.06，0.10)[30.10，30.14)频数12638618292614乙厂：分组[29.8629.90)[29.90，29.94)[29.94，29.98)[29.98，30.02)[30.02，30.06)[30.06，30.10)[30.10，30.14)频数297185159766218(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附K2＝[解](1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为(2)甲厂乙厂合计优质品360320680非优质品140180320合计5005001000所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.在解决本题时，由于题中的信息量较大，故审题时要仔细，尤其是甲、乙两厂所抽取的500件的数据分布.这是解决第(1)问的关键，对于第(2)问利用条件，填写出列联表直接代入公式计算.要注意运算结果的准确性，以免造成运算失分.另外，在本例中同学求一下甲厂中抽取的500件零件的平均尺寸是多少？