高一数学三角函数的图象和性质

第18讲│三角函数的图象和性质第18讲三角函数的图象和性质第18讲│知识梳理知识梳理1．周期函数(1)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有______________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)第18讲│知识梳理2．五点法作图原理在确定正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象形状时，起关键作用的五点是_____________________________________．在确定余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象形状时，起关键作用的五点是_______________________________________．(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)第18讲│知识梳理3．三角函数的图象与性质第18讲│知识梳理2π2ππ奇奇偶讲│知识梳理增增增减减第18讲│知识梳理4.三角函数图象的对称性：(1)正弦函数y＝sinx图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)，对称轴方程是______________；(2)余弦函数y＝cosx图象的对称中心是_____________，对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)；(3)正切函数y＝tanx图象的对称中心是______________，不存在对称轴．x＝kπ＋π2(k∈Z)kπ＋π2，0(k∈Z)kπ2，0(k∈Z)要点探究第18讲│要点探究►探究点1三角函数图象的简单应用例1(1)若sinx≥12，则x的范围是______________；若3＋2cosx0，则x的范围是______________；若tanx≤1，则x的范围是______________．(2)下列坐标所表示的点不是．．函数y＝tanx2－π6的图象的对称中心的坐标是()A.π3，0B.－5π3，0C.4π3，0D.2π3，0第18讲│要点探究[思路](1)只要根据三角函数的图象并注意特殊角的三角函数值即可；(2)检验是否符合x2－π6＝kπ2(k∈Z)．第18讲│要点探究(1)2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6(k∈Z)2kπ＋5π6x2kπ＋7π6(k∈Z)kπ－π2x≤kπ＋π4(k∈Z)(2)D第18讲│要点探究[解析](1)由于在[0,2π]内只有x∈π6，5π6满足sinx≥12，根据周期性得x的范围是2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6(k∈Z)；由于在[0,2π]内只有x∈5π6，7π6满足不等式3＋2cosx0，根据周期性得x的范围是2kπ＋5π6x2kπ＋7π6(k∈Z)；由于在－π2，π2内只有－π2，π4满足不等式tanx≤1，根据周期性得x的范围是kπ－π2x≤kπ＋π4(k∈Z)．第18讲│要点探究(2)令x2－π6＝kπ2，即x＝kπ＋π3(k∈Z)，函数图象的对称中心为kπ＋π3，0(k∈Z)，检验可知只有选项D中的不是．第18讲│要点探究[点评]根据三角函数的图象，从数形结合的角度求解一些基本的三角函数不等式的解、判断函数图象的对称性等，要准确使用图象进行观察分析．在以函数图象为切入点的试题中要注意画图的准确性，注意借助于数的演算对图形问题给出定量结果．在函数图象分析类试题中，数的佐证是必不可少的，如下面的变式．第18讲│要点探究函数y＝－xcosx的部分图象是()图18－1第18讲│要点探究[思路]根据函数的解析式检验函数的奇偶性以及函数值的变化趋势，以数助形解决问题．第18讲│要点探究D[解析]y＝－xcosx为奇函数(数的佐证)，函数图象关于坐标原点对称(由数的佐证到图形)；当x从大于零的方向接近零时，x0，cosx0，此时y0(数的佐证)，从而断定正确选项是D(由数的佐证到图形)．第18讲│要点探究►探究点2三角函数的值域与最值例2(1)[2010·江西卷]函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()A．[－1,1]B.－54，－1C.－54，1D.－1，54(2)函数f(x)＝cos2x＋sinx在区间－π4，π4上的最小值是()A.2－12B．－1＋22C．－1D.1－22第18讲│要点探究[思路](1)是关于正弦函数的二次式；(2)可以根据同角三角函数关系化为正弦函数的二次式，根据正弦函数的有界性通过配方求解．第18讲│要点探究(1)C(2)D[解析](1)y＝sin2x＋sinx－1＝sinx＋122－54，又－1≤sinx≤1，∴当sinx＝－12时，ymin＝－54，当sinx＝1时，ymax＝1，故值域为－54，1，选C.(2)f(x)＝cos2x＋sinx＝－sin2x＋sinx＋1＝－sinx－122＋54，当x＝－π4时，f(x)取最小值1－22.第18讲│要点探究[点评]整体代换法是解决数学试题中一个很重要的方法，本题就是通过把sinx看作一个整体解决问题的，如果进一步用t代换sinx(即换元)，则题目中的两个函数都可以看作是关于t的二次函数，就可以通过二次函数的性质解决问题．在解答含有同一个角的正弦或者余弦的二次三项式的最值时，一定要注意sinx，cosx的取值范围，如(1)中－1≤sinx≤1，而(2)中－22≤sinx≤22，如果忽视这个范围就可能出现错误．关于整体代换法求函数值域，如下面的变式．第18讲│要点探究函数y＝(sinx－2)(cosx－2)的值域是()A.92－22，92＋22B.32，92＋22C.32，＋∞D.－2，2第18讲│要点探究[思路]函数式展开后将出现sinxcosx和sinx＋cosx，可以用sinx＋cosx表示sinxcosx后换元解决．第18讲│要点探究A[解析]函数可化为y＝sinxcosx－2(sinx＋cosx)＋4，令sinx＋cosx＝t(|t|≤2)，则sinxcosx＝t2－12，∴y＝t2－12－2t＋4＝12(t－2)2＋32.∵t＝2∉[－2，2]且函数在[－2，2]上为减函数，∴当t＝2时，即x＝2kπ＋π4(k∈Z)时，ymin＝92－22；当t＝－2时，即x＝2kπ－3π4(k∈Z)时，ymax＝92＋22.第18讲│要点探究►探究点3三角函数的奇偶性与周期性例3(1)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3的值为()A．－12B.32C．－32D.12(2)设函数f(x)＝xsinx，x∈－π2，π2，若f(x1)f(x2)，则下列不等式必定成立的是()A．x1＋x2＝0B．x21x22C．x1x2D．x1x2第18讲│要点探究[思路](1)根据周期性和奇偶性把所求的函数值转化到已知区间上的函数值；(2)根据函数是偶函数，利用偶函数的性质．第18讲│要点探究(1)B(2)B[解析](1)f5π3＝f－π3＋2π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.(2)函数f(x)为偶函数，易知f(x)＝f(|x|)，且当x∈0，π2时，f(|x|)为增函数．又由f(x1)f(x2)，得f(|x1|)f(|x2|)，故|x1||x2|，于是x21x22.第18讲│要点探究如果f(x)＝sin(x＋φ)＋2cos(x＋φ)是奇函数，则tanφ＝()A．1B．－1C．2D．－2第18讲│要点探究[思路]根据函数是奇函数必须满足f(－x)＝－f(x)，得到关于x的恒等式，根据这个等式恒成立的条件确定φ所满足的关系，或者根据定义在R上的奇函数必须满足f(0)＝0求解．第18讲│要点探究D[解析]方法一：由f(－x)＝－f(x)，得sin(－x＋φ)＋2cos(－x＋φ)＝－sin(x＋φ)－2cos(x＋φ)，按照和差角的正弦、余弦公式展开并整理得(sinφ＋2cosφ)cosx＝0，该式对任意x恒成立，则只能是sinφ＋2cosφ＝0，即tanφ＝－2.方法二：由已知可得f(－x)＝－f(x)，令x＝0可得f(0)＝0，即sinφ＋2cosφ＝0，即tanφ＝－2.第18讲│要点探究►探究点4三角函数的单调性例4(1)在△ABC中，Cπ2，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是()A．f(cosA)f(cosB)B．f(sinA)f(sinB)C．f(sinA)f(cosB)D．f(sinA)f(cosB)第18讲│要点探究(2)函数f(x)＝tanx＋π4的单调递增区间为()A.kπ－π2，kπ＋π2，k∈ZB．(kπ，(k＋1)π)，k∈ZC.kπ－3π4，kπ＋π4，k∈ZD.kπ－π4，kπ＋3π4，k∈Z第18讲│要点探究[思路](1)根据角A，B之和小于π2，利用正弦函数或者余弦函数的单调性确定A，B的正弦和余弦的大小，再根据函数f(x)的单调性进行判断；(2)把x＋π4看做一个整体，根据正切函数的单调性求解．第18讲│要点探究(1)C(2)C[解析](1)根据0A＋Bπ2得0Aπ2－Bπ2，所以sinAsinπ2－B＝cosB，根据函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数知正确选项为C.(2)令kπ－π2x＋π4kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ－3π4xkπ＋π4(k∈Z)．第18讲│要点探究求下列函数的单调区间：(1)y＝12sinπ4－2x3；(2)y＝－cosx＋π4.第18讲│要点探究[思路](1)根据函数性质把函数变换为y＝－12sin2x3－π4后解决；(2)结合函数的图象变换方法和余弦函数的单调性解决．第18讲│要点探究[解答](1)原函数变形为y＝－12sin2x3－π4.令u＝2x3－π4，则只需求y＝sinu的单调区间即可．y＝sinu在2kπ－π2≤u＝2x3－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，即3kπ－3π8≤x≤3kπ＋9π8，(k∈Z)上单调递增；在2kπ＋π2≤u＝2x3－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)上，即3kπ＋9π8≤x≤3kπ＋218π(k∈Z)上单调递减．讲│要点探究故y＝12sinπ4－2x3的递减区间为3kπ－3π8，3kπ＋9π8(k∈Z)，递增区间为3kπ＋9π8，3kπ＋218π(k∈Z)．(2)原函数的增减区间即是函数y＝cosx＋π4的减增区间，令u＝x＋π4，由函数y＝|cosu|的图象可知周期T＝π且y＝|cosu|在kπ－π2≤u＝x＋π4≤kπ，即kπ－3π4≤x≤kπ－π4，k∈Z上递增；第18讲│要点探究第18讲│规律总结规律总结第18讲│规律总结