3-3单位荷载法

3单位荷载法一、位移计算的一般公式(GeneralFormulaofDisplacements)将虚功原理用于实际协调位移和虚设平衡力状态间已介绍过——单位荷载法。下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位移计算的一般公式。杆系结构虚功方程为δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds=δWi设待求的实际广义位移为Δ设仅在广义力P作用下，与之平衡的轴力、剪力、扭矩和弯矩分别为FN、FQ、Mx和M。实际位移状态FP?BxABC虚设的力状态PABCFN、FQ、Mx和M，与Δ对应的广义力为P。又设与内力FN、FQ、Mx和M对应的微段实际变形分别为δε、δγ、δφ和δθ。若结构有已知支座位移为ci实际位移状态FP?BxABC虚设的力状态PABCFN、FQ、Mx和Mδε、δγ、δφ和δθFRc，与其对应的由广义力P引起的支座反力为FRi则杆系结构虚功方程为δWe=ΣFRici+PΔ=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds=δWi虚功方程等式两边同除广义力P，并记单位广义力(P/P=1)作用下，与之平衡的轴力、剪力、扭矩和弯矩分别为FN、FQ、Mx和M。单位广义力引起的，与已知位移对应的反力为FRi。则杆系结构虚功方程改写为Δ=-ΣFRici+Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds位移计算的一般公式一般公式的普遍性表现在：2.结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；1.位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；3.材料性质：线性、非线性；4.变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；5.位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。BA?AB(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力。A?A(a)P=1P=1P=1ABCd?BC(c)dP1dP1ABC2d1d(d)?ACAB11d11d21d21d试确定指定广义位移对应的单位广义力。AB?AB(e)P=1P=1C(f)C左右=？P=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。P=1?A(g)A?AB(h)ABP=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。二、荷载作用下位移计算的一般公式iixcFsMsMFFRQNdd在仅荷载作用时的位移计算一般公式对于由线弹性直杆组成的结构，有：PPQN,,,EIMEIMGAkFEAFxPPPPPPPsMsMFFxddPPPQPNP扭转项式中：E弹性模量；G剪切模量；A横截面积；I截面惯性矩；k截面形状系数。如：对矩形截面k=6/5;圆形截面k=10/9。sGIMMsEIMMGAFFkEAFFxPxPPPddPQQNNPIP截面极惯性矩；轴向剪切弯曲扭转例1：求刚架A点的竖向位移。解：构造虚设状态（实际状态）分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内力图），如：（虚拟状态）qxxPFQqlqlPFNx221qxPM221ql荷载内力图xxlMx1PFQ1PFN单位内力图内力的正负号规定如下：轴力以拉力为正；NN,FFP剪力使微段顺时针转动者为正；QQ,FFP弯矩只规定乘积的正负号。使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取为正。MMP,将内力方程代入公式讨论：2254~)(,58~)(,1~)(GAlkEIAlIQAyNAyMAy轴向剪切弯曲GAsFFkEAsFFEIsMMPPPAydddQQNN)54581(85224GAlkEIAlIEIql，有：引入符号56,12,3kbhIbhA22)(252~)(,)(152~)(lhGElhQAyNAy问题：的取值范围是什么？GE)1(2EG5.0032GE设杆件截面为bh的矩形截面杆，有：%13.0)()(,%2.0)()(MAyNAyMAyQAy因此,对受弯细长杆件,通常略去FN,FQ的影响。取：，，有：101lh5.2GE5001~)(,7501~)(QAyNAy)500175011(854EIqlAy即：三、几点讨论（只有荷载作用）：GAsFFkEAsFFEIsMMPPPPdddQQNN一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。1.对梁和刚架：EIsMMPPd2.对桁架：EAlFFEAsFFPPPNNNNd3.对组合结构：EAlFFEIsMMPPPNNd例2：求曲梁B点的竖向位移和水平位移。(EI、EA、GA已知)BxByROBAFP解：构造虚设的力状态如图示FP=1RθsinRMyFP=1Rθ)cos1(RMxFPRθPMsinPRFMPlPPByEIPRREIMMsEIMM0203)(4dd)(23EIPRBx同理有：将内力方程代入位移计算公式,可得三铰拱的分析同此类似，但一般要考虑轴力对位移的贡献，也即EAsFFEIsMMPPPddNN例3：求对称桁架D点的竖向位移。图中右半部各括号内数值为杆件的截面积A，设E=210GPa。)m10(21DyFN解：构造虚拟状态并求出实际和虚拟状态中各杆的内力代入公式得：)(mm8NNEAlFFDy返章菜单FN