3-3向量组的极大无关组

信息系刘康泽信息系刘康泽第3-3节向量组的极大无关组信息系刘康泽一、向量组的极大无关组【定义】设向量组12,,,m及它的一个部分组12,,,()riiirs„满足下述条件：（1）12,,,riii线性无关；（2）任何添加一个向量j到12,,,riii中，则这1r个向量12,,,,riiij都线性相关。则称部分组12,,,riii为向量组12,,,m的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。【定义】设向量组12,,,m及它的一个部分组12,,,()riiirs„满足下述条件：（1）12,,,riii线性无关；（2）任何添加一个向量j到12,,,riii中，则这1r个向量12,,,,riiij都线性相关。则称部分组12,,,riii为向量组12,,,m的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。信息系刘康泽则：12,构成1234,,,的极大无关组，例如,设110,201,311,422，例123,也构成1234,,,的极大无关组；24,也构成1234,,,的极大无关组等等。但是34,不构成1234,,,的极大无关组，因为34,线性相关。【注1】定义中的条件(2)可以改叙为：12,,,m中的任意一个向量都可以由12,,,riii线性表示。【注2】定义中的条件(2)还可以改叙为：12,,,m中的任意1r个向量都线性相关。信息系刘康泽【注3】向量组的极大无关组不一定唯一。【注4】当向量组12,,,m线性无关时，则极大无关组就是其自身；反之亦然。【定理1】向量组与它的极大无关组可以互为线性表示，即向量组与它的极大无关组等价。证明设向量组（Ⅰ）12,,,s；不妨设它的一个极大无关组是（Ⅱ）12,,,rrs„。显然极大无关组（Ⅱ）可由向量组（Ⅰ）线性表示；又由极大无关组的定义知，向量组（Ⅰ）中的任意一个向量都可由它的极大无关组（Ⅱ）线性表示，即（Ⅰ）与（Ⅱ）可以互为线性表示，从而它们等价。信息系刘康泽【推论1】向量组的任意两个极大无关组等价。证明若向量组（Ⅱ）和（Ⅲ）都是向量组（Ⅰ）的极大无关组，则（Ⅱ）和（Ⅲ）都与（Ⅰ）等价，根据向量组等价关系的传递性，可知（Ⅱ）和（Ⅲ）等价。证：设12,,,riii(Ⅰ)和12,,,sjjj(Ⅱ)都是12,,,m的极大无关组，【推论2】向量组12,,,m的任意两个极大无关组所含向量的个数相同。首先，由于（Ⅰ）线性无关，且（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，则rs剆；信息系刘康泽由定理1可知：向量组的极大无关组所含向量的个数是向量组的一个不变数值特性。由此有如下定义：同理，由于（Ⅱ）线性无关，且（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，则sr剆。由此rs。信息系刘康泽【注1】由零向量组成的向量组没有极大无关组，规定(0,0,,0)0r；而对于任意非零向量组12,,,m，有121(,,,)mrm剟。【注2】若12(,,,)srr，则向量组12,,,m中任意r个线性无关的向量都可构成向量组12,,,s的一个极大无关组。【定义】称向量组12,,,m的极大无关组中所含向量的个数为该向量组的秩，记为12(,,,)sr。二、向量组的秩信息系刘康泽【注3】当且仅当向量组12,,,m线性无关时，有12(,,,)mrm。【定理2】若向量组12,,,m可由12,,,s线性表出，则有：1212(,,,)(,,,)msrr„。证设12,,,m为()a，它的极大无关组为()a，设12,,,s为()b，它的极大无关组为()b。根据“向量组与它的极大无关组等价”的结论及定理的假设，有：信息系刘康泽【推论】若向量组12,,,m与向量组12,,,s等价，则它们的秩相等，即：1212,,,,,,msrr。而()a是线性无关的，故：()a中向量的个数„()b中向量的个数，()a可由()a线性表示；()a可由()b线性表示；()b可由()b线性表示。即1212(,,,)(,,,)msrr„。由线性表示的传递性可知：()a可由()b线性表示。信息系刘康泽【定理3】设12,,,,s都是n维向量，则可由向量组12,,,s线性表出的充分必要条件是1212(,,,,)(,,,)ssrr。证明充分性设1212(,,,,)(,,,)ssrrr，且不妨设向量组12,,,s的一个极大无关组是12,,,()rrs，则12,,,r线性无关且含有r个向量，因而12,,,r也是12,,,,s的一个极大无关组，从而可由12,,,r线性表出，故向量可由12,,,s线性表出。（必要性是显然的）信息系刘康泽证：设（I）与（II）的秩相等.则当秩为0时,由于（II）中均为0向量，结论成立.若秩不为0,由()()rrⅠⅡ且（I）包含在（II）中知,（I）的极大无关组也是（II）的极大无关组.因此每个i都可由此极大无关组线性表出,),,1(srii都可由（I）线性表出。例、向量组：（I）r,,,21与向量组：（II）srr,,,,,,121有相同的秩的充要条件是每个),,1(srii都可由r,,,21线性表出.例2信息系刘康泽反之,若),,1(srii可由（I）线性表出,则显然（I）与组（II）等价,故它们秩相等。证：因为r,,1可由r,,1线性表出,故对任意i,有ri,,,1可由r,,1线性表出.由rr1知：),,1(,,,1riri必线性相关.又r,,1线性无关,故i可由r,,1线性表出。所以r,,1与r,,,21等价,例、设向量组r,,,21线性无关,且可由向量组r,,,21线性表出,证明：这两个向量组等价,从而r,,,21也线性无关.例3信息系刘康泽因而：秩),,(1r=秩rr),,,(21故r,,1线性无关.解：（1）不一定,例如：)0,1,0(),0,0,1(21与)0,2,0(),1,0,0(21它们的秩相等.但1不能由21,线性表出,故21,与21,不等价.例、（1）秩相等的两向量组是否一定等价？（2）若两向量组的秩相等,且其中之一可由另一组线性表出,证明这两个向量组等价.例4信息系刘康泽（2）设（I）：s,,1；（II）t,,1秩相等,设为r，且（III）：riii,,,21；（IV）rjjj,,,21分别为（I）、（II）的极大无关组.若（I）可由（II）线性表出,则（III）可由（IV）线性表出.因（III）线性无关,故（III）与（IV）等价。由此（I）与（II）等价。信息系刘康泽解：因为：rr3ⅠⅡ，故有：,,123线性无关，,,,1234线性相关，所以：4可由,,123线性表示，设：4112233（1）又假设54能由,,123线性表示，则：kkk54112233例、设,,123为（Ⅰ）；,,,1234为（Ⅱ）；,,,1235为（Ⅲ），且,rrr34ⅠⅡⅢ,则：,,,r12354。例5信息系刘康泽即：kkk51122334由（1）式知：kkk5111222333这说明：,,,1235线性相关，与r4Ⅲ矛盾。从而,,,r123544。信息系刘康泽)1(r,试证：,,,,1212rrrr。证明：由已知有：,,,,12120111101111011110rr例、设向量组r,,,21与r,,,21满足r321r312……121rr例6信息系刘康泽因为：()011111111011101111101110111101110r()()111110111111000110001rrr信息系刘康泽所以有：,,,,112120111101111011110rr即,,12r也可由,,12r线性表出,所以,,12r与,,12r等价.故：,,,,1212rrrr。信息系刘康泽三、矩阵的秩与向量组的秩之间的关系称12,,,m为矩阵A的行向量组，并称此向量组的秩12(,,,)mr为矩阵A的行秩；【定义】设A是mn矩阵，且1212(,,)TTnTmA其中12(,,,),1,2,,Tiiiinaaaim，12(,,),1,2,,Tjjjmjaaajn称12,,n为矩阵A的列向量组，并称此向量组的秩12(,,)nr为矩阵A的列秩。信息系刘康泽以下将证明：()rAA的行秩A的列秩。【定理】初等变换不改变矩阵A的行秩与列秩。证明此定理的结论可分解为以下四种情形：（1）初等行变换不改变A的行秩；（2）初等行变换不改变A的列秩；（3）初等列变换不改变A的列秩；（4）初等列变换不改变A的行秩。只需证明经过一次初等变换结论成立即可。对于（1）：将A按行分块，对A作一次初等行变换后的矩阵记为B，则显然无论用哪一种初等行变换，A的行向量组与B的行向量组都可以互为线性表示。信息系刘康泽故A的行向量组等价于B的行向量组。而等价的向量组具有相同的秩，由此：对于（2）：将A按列分块，并将由A作初等行变换后得到的矩阵B也按列分块，即1212,,,,,nnAB初等行变换。设12,,,iiir与12,,,(1)iiirrn剟是A与B中的对应列，则有：1212,,,,,,iiiriiir初等行变换A的行秩=B的行秩，即初等行变换不改变A的行秩。信息系刘康泽考虑齐次线性方程组11220iirirxxx（1）和11220iirirxxx（2）由方程组（2）的系数矩阵12(,,,)iiir是由方程组（1）的系数矩阵12(,,,)iiir经过初等行变换后得到的，故方程组（1）与（2）同解。于是12,,,iiir与12,,,iiir有相同的线性相关性，即要么都线性相关，要么都线性无关。因此，若12,,,iiir是12,,,n的极大无关组，则12,,,iiir也是12,,,n的极大无关组，反之亦然。信息系刘康泽所以12,,,n的极大无关组与12,,,n的极大无关组所含向量的个数相同，即同理可证情形（3）、（4）。【注1】由定理的证明过程可知：若1212,,,,,nnAB初等行变换则12,,,n与12,,,n具有完全相同的线性关系。例如，若1243520，则必有1243520。A的列秩B的列秩，故初等行变换不改变A的列秩。信息系刘康泽若1122jiirirkkk，则必有1122jiirirkkk。并且()()rArM。上面的证明又知道M的行秩A的行秩，M的列秩A的列秩，而对于标准形矩阵M，显然有，()rMM的行秩M的列秩，因此：()r