江西省宜春市高中数学比赛李志勇课件：正弦定理

1.1正弦定理宜春市第四中学：李志勇图1CAB如图1.在建造宜春大桥时，要知道桥身AB的长，工作人员在河一边选取一点A并测得∠BAC≈86.50，∠C≈500，AC＝258米，怎样求桥身AB的长度呢？图2BACO如图2.学生W对同学们说：只要有量角器和皮尺，我就能知道远处山峰的高度。并说出了设想：量出∠A、∠BCO及AC的长即可，他能做到吗？CcBbAasinsinsin∴那么对于非直角三角形，这一关系式是否成立呢？sinA=ca在Rt△ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c，C=900,则有:ACBcbacbsinB=ccsinC=1=bcABaCD如图.当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义;sinsinabAB即sinsincbCB同理可得AbBaCDsinsin则有从而CcBbAasinsinsin如图:以A为原点,以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系,C点在y轴上的射影为C’.ACBCy因为向量与在轴上的射影均为|OC|,即AbAACOCsinsin||||'sinsinBaB|OC|=|BC|=sinsinaBbAsinsinabAB即sinsinacAC同理,ObcABaCDxyC’CcBbAasinsinsin即：如图:以A为原点,以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系,C点在y轴上的射影为C’.AbAACOCsinsin||||'sinsinBaB|OC|=|BC|=sinsinaBbAsinsinabAB即sinsinacAC同理,bcABaCDOxyC’CcBbAasinsinsin即：当△ABC是钝角三角形时正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等,CcBbAasinsinsin利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角。（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；CcBbAasinsinsin一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例1．在△ABC中，已知A＝450，C＝600，a＝，解三角形。解：根据三角形内角和定理；根据正弦定理2000756045180180CAB226224262sinsin.ABab322232sinsin.ACac根据正弦定理例2：某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩,其一角已破损.现测得如下数据:BC=2.57cm,CE=3.57cm,BD=4.38cm,B=45O,C=120O.为了复原,请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01cm)?分析:如图,将BD,CE分别延长相交于一点A.在△ABC中已知BC的长及角B与C,可以通过正弦定理求AB,AC的长.BCDEA,sinsinACBCBAsin2.57sin45,sinsin15BCBACA利用计算器算得7.02(cm).AC同理,3.15(cm).AB答:原玉佩两边的长分别约为7.02cm,3.15cm.BCDEA解:将BD,CE分别延长相交于一点A.在△ABC中,BC=2.57cm,B=45O,C=120OA=180O-(B+C)=15O例3．在△ABC中，已知A=300,c=10,a=10,解三角形。3解：根据正弦定理，CcAasinsin231030sin310sin0C因为0＜C＜1500，所以C=600或C=1200(1)当C=600时，20sinsinCBcB＝900，b=(2)当C=1200时，B＝300，b=10sinsinCBcbcaCBAC/第47页练习1、2题。::abcsin:sin:sin1:2:3ABC[补充练习]1、已知△ABC中，，求33、已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,A+C=2B,则sinC的值。sinsinsinabcABC2、已知△ABC中,A=600，a=,求。3解答情景（1）定理的表示形式：sinsinsinabcABC（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求其它两角及一边。及其两种证明方法；2、作业：第52页[习题2.1]A组第4、7题。1、课后思考：已知两边和其中一边的对角解三角形时解的个数怎样判断？一、教材分析；二、教学方法；三、学习方法；四、教学过程；