高三数学复习中的问题变式教学

高三数学复习中的问题变式教学成都市盐道街中学吴勇一.问题变式教学的重要性问题变式——高三数学复习的方法之一问题变式——高考命题的常见方式之一许多高考题目都能在课本上找到影子，不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合。在高中数学教学尤其是高三复习教学中，变式教学因其在培养学生数学技能和思维品质等方面的有效性和实用性而被广泛运用。二.问题变式的常见形式1.交换题目的条件和结论2.改变题型结构3.改变题目中的图形4.具体化题目的条件5.改变题目的载体三.问题变式在高三复习中运用（一）题后反思，树立“变”的意识（二）精心备课，把握“变”的切入点（三）注重落实，过手“变”后问题的求解（四）归纳提炼，总结“变”后问题解决的通法反思是题目变式的源泉和基础，是题目变式的内在动因对“变”后问题的求解，是变式教学的一个重要环节，学生通过对变式后的问题的求解，能加深、巩固对该类问题的理解和对方法的掌握。四、问题变式教学的再思考可否让一些基础好、能力强的学生参与到“变”的过程中来呢？让学生通过对“变”这个过程的参与、体会、实践，培养他们发散思维的能力和挖掘创新的潜力，激发他们对问题研究的激情，形成探究意识。（二）精心备课，把握“变”的切入点1.从对知识的理解上切入2.从对方法的反思上切入3.从对条件的反思上切入4.从问题的呈现形式上切入5.从几何图形的联系上切入6.从动态的情景中切入7.从对教材例题的剖析、领悟上切入（高二上P123习题6）过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证直线MQ平行于抛物线对称轴（01全国19）.抛物线y2=2px(p0)焦点为F,一直线过焦点F,交抛物线于A,B.BC∥x轴,且点C在抛物线准线上。证明直线AC经过原点O。2211lim21xxxx（）07年四川高考题第三题：1223A．0B.1C.D.高三选修P81－例2.求2211lim21xxxx略解：例1.已知集合2|,AxyxxR，2|1BxxAB求变式1.已知集合2|,AyyxxR，2|1BxxAB求略解：2|,[0,)AyyxxRAB1，变式3.已知集合2(,)|,AxyyxxR，2(,)|1,ByxxyR，AB求变式2.已知集合2(,)|,AxyyxxR，2|1Bxx，AB求AB答案：1y2yx略解：集合A是抛物线上点的集合，集合B是直线上点的集合，AB(1,1),(1,1)变式4.已知集合2|,AxyyxxR，2|1Bxx，AB求AB1略解：2|,AxyyxxR2|,mmxxxR1[,)4例2．求函数23yx4x的值域。243yxyx2340yxxy解：（法）①0y0x0y29160y33,44y0y时，符合题意；且时，23yx4x33,44所以函数的值域为变式1：求函数2221yx23xxx的值域2221yx23xxx略解：21(1)3xxx3|2,,4yyyyR＝原函数的值域为：变式2：求函数的值域23y(03)x4xx0x3y4xx44xx3(0,]4y解：1）时，，由0xy03[0,]4y2）综上，原函数的值域为：时，变式3：求函数的值域232y(03)x4xx32tx思路：（换元法）令29y,440ttt[1,10]t则变式4：求函数的值域222310y(03)x4xxx思路：（分离常数法）222310yx4xx222(4)322x4xx232x4x0x3（）1,11,122fxaxyfx(07广东)已知a是实数，函数，如果函数在区间求a的取值范围.23xa运用：上有零点，22230axxa22230axxa2(21)32axx2210x22x分析：由题得在上有根，容易判断即不是方程的根。所以22230axxa1,1在上有根等价于23221xax＝1,1在上有根。故a的取值范围为函数23221xxy＝1,1x（）的值域。3712aa或答案：例3.如图，已知P是正三棱锥S－ABC的侧面SBC内一点，P到底面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）Ａ．圆Ｂ．抛物线Ｃ．椭圆Ｄ．双曲线DCPSBAO、已知平面两两垂直，点F，点F到平面、的距离都是3，P是上的动点，点P到平面的距离是到点F的距离的2倍，则点P到平面的距离的最小值是。,,变式：()4fxxax(,1]a例4．函数在上是单调递增的函数，求的取值范围。'2()10fxax(,1]21ax24axax5a略解：在上恒成立，所以恒成立，()4fxxax(,1]a变式：函数区间是的取值范围。，求的单调增'2()10fxax(,1]5a略解：的解集是，答案：32xy，30023xyxyx≥，≥，≤≤，2xy例5.（2007湖北）设变量满足约束条件则目标函数的最小值为．P22020210xyxyy≥≤≥Q22(2)1xyPQ变式1：（2007安徽）如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（Ａ）3241522121Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．1,10,220xxyxy22xy(2006年湖南卷）已知则的最小值是.答案：5xy，2040250xyxyxy|24|zxy变式2：已知实数满足则的最大值是（D）A．18B.19C.20D.21分析：22|24||24|1212xyzxy的取值范围是（A）xy、20,1,70xyxxyyx变式3：(2007年辽宁卷）已知变量满足约束条件，则9[,6]59(,][6,)5(,3][6,)[3,6]A．B.C.D.又如：求3126yzx的取值范围。131332623yyzxx分析：1R2R3R123::RRR例6．已知正方体的外接球的半径为正方体各条棱相切的球半径为的内切球半径为，则＝.，和，正方体答案：3:2:11,R2R12:RR（06年全国联赛陕西预赛题）用6根等长的细棒焊接成一个正四面体框架，铁棒的粗细和焊接误差不计。设此框架能容纳得下的最大球的半径为能包容纳此框架的最小球的半径为，则等于。变式1：ACDB1:3GFBHADEC已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥A—BCD的中截面为M，则O到平面M的距离为（）变式2：4a66a612a28aA.B.C.D.GEFMOJIBKDCHABDCFGEAC.(0,2)A2214yx例7．过点可以作条直线与双曲线有且只有一个公共点？4作条直线与双曲线(1,2)B2214yx变式1：过点可以有且只有一个公共点？2A变式2.找一点，过点可作3A2214yx有且只有一个公共点？条直线与双曲线（不能）2214yx条直线与双A变式3.能否找一点，过点可作1A有且只有一个公共点？曲线A2214yx变式4.过一点作与双曲线只有一个公共点的直线，这样的直线条数有哪几种可能？有且1.点在原点，这样的直线有0条；2.点在渐进线上（除原点），或在双曲线分平面所含焦点的区域，这样的直线有2条；3.点在双曲线上，这样的直线有3条；4.点在平面上其他区域，这样的直线有4条。结论：AAAA例8．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？2yaxbxc,,,abc变式1.用0到9这10个数中选出不重复的3个数作为函数中的值，问可以组成多少个不同的二次函数？（多少个关于y轴对称的二次函数？多少个不同的函数？）,,abr变式2.用0到9这10个数中选出不重复的3个数作为圆的方程中的值，问可以组成多少个不同的圆的方程？（多少个圆心在X轴上的圆的方程？）22()()xaybr将直线方程代入圆锥曲线方程，整理成一元二次方程，再利用根的判别式、求根公式、韦达定理、两点间距离公式等解题，这是解决直线与圆锥曲线问题常用方法。不同的是，每个题在表现的形式上不同而已。总结反思：