高三数学空间向量及其运算复习课件

第八章立体几何§8.5空间向量及其运算知识回顾理清教材要点梳理1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为的向量0单位向量长度(模)为的向量相等向量方向且模的向量a＝b相反向量方向且模的向量A的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相的向量a∥b共面向量平行于同一个的向量01相同相等相反相等平行或重合平面知识回顾理清教材要点梳理2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是.推论如图所示，点P在l上的充要条件是OP→＝OA→＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB→＝a，则①可化为OP→＝OA→＋tAB→或OP→＝(1－t)OA→＋tOB→.存在实数λ，使得a＝λb知识回顾理清教材要点梳理(2)共面向量定理的向量表达式：p＝，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任意一点O，有OP→＝或OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→，其中x＋y＋z＝.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝，把{a，b，c}叫做空间的一个基底.xa＋ybOM→＋xMA→＋yMB→1xa＋yb＋zc知识回顾理清教材要点梳理3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作，其范围是，若〈a，b〉＝π2，则称a与b，记作a⊥b.〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π互相垂直知识回顾理清教材要点梳理②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则叫做向量a，b的数量积，记作，即.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝；②交换律：a·b＝；③分配律：a·(b＋c)＝.|a||b|cos〈a，b〉a·ba·b＝|a||b|cos〈a，b〉λ(a·b)b·aa·b＋a·c知识回顾理清教材要点梳理4.空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔⇔，，，a⊥b⇔⇔(a，b均为非零向量).a1b1＋a2b2＋a3b3a＝λba1＝λb1a2＝λb2a3＝λb3(λ∈R)a·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0知识回顾理清教材要点梳理(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝|AB→|＝.a21＋a22＋a23a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23a2－a12＋b2－b12＋c2－c12题号答案12345AC13，－23，23或－13，23，－23(1)√夯实基础突破疑难夯基释疑12a＋14b＋14c(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×题型一空间向量的线性运算【例1】三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示MG→，OG→.思维启迪思维升华解析思维升华解析思维启迪利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可.题型一空间向量的线性运算【例1】三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示MG→，OG→.【例1】三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示MG→，OG→.思维启迪思维升华解析解MG→＝MA→＋AG→＝12OA→＋23AN→＝12OA→＋23(ON→－OA→)＝12OA→＋23[12(OB→＋OC→)－OA→]＝－16OA→＋13OB→＋13OC→.OG→＝OM→＋MG→＝12OA→－16OA→＋13OB→＋13OC→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.题型一空间向量的线性运算【例1】三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示MG→，OG→.思维启迪思维升华解析用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.题型一空间向量的线性运算跟踪训练1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.(1)化简A1O→－12AB→－12AD→＝_____；(2)用AB→，AD→，AA1→表示OC1→，则OC1→＝____________________.解析(1)A1O→－12AB→－12AD→＝A1O→－12AC→＝A1O→－AO→＝A1A→.(2)OC1→＝OC→＋CC1→＝12AB→＋12AD→＋AA1→.A1A→12AB→＋12AD→＋AA1→题型二共线定理、共面定理的应用【例2】已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→).思维启迪思维升华解析【例2】已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→).思维升华解析思维启迪对于(1)只要证出向量EG→＝EF→＋EH→即可；对于(2)只要证出BD→与EH→共线即可；对于(3)，易知四边形EFGH为平行四边形，则点M为线段EG与FH的中点，于是向量OM→可由向量OG→和OE→表示，再将OG→与OE→分别用向量OC→，OD→和向量OA→，OB→表示.题型二共线定理、共面定理的应用【例2】已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→).思维启迪思维升华解析证明(1)连接BG，则EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)＝EB→＋BF→＋EH→＝EF→＋EH→，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面.(2)因为EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.题型二共线定理、共面定理的应用【例2】已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→).题型二共线定理、共面定理的应用(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知EH→＝12BD→，同理FG→＝12BD→，所以EH→＝FG→，即EH綊FG，所以四边形EFGH是平行四边形.所以EG，FH交于一点M且被M平分.故OM→＝12(OE→＋OG→)＝12OE→＋12OG→＝1212OA→＋OB→＋1212OC→＋OD→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→).思维启迪思维升华解析【例2】已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→).思维启迪思维升华解析(1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A，B，C三点共线，即证明AB→，AC→共线，亦即证明AB→＝λAC→(λ≠0).题型二共线定理、共面定理的应用【例2】已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→).(2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明PA→＝xPB→＋yPC→或对空间任一点O，有OA→＝OP→＋xPB→＋yPC→或OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC(x＋y＋z＝1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.题型二共线定理、共面定理的应用思维启迪思维升华解析跟踪训练2如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E＝2EB，CF＝2AF，则EF与平面A1B1CD的位置关系为________.解析取AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c为基底，易得EF→＝－13(a－b＋c)，而DB1→＝a－b＋c，即EF→∥DB1→，故EF∥DB1，且EF⊄平面A1B1CD，DB1⊂平面A1B1CD，所以EF∥平面A1B1CD.平行题型三空间向量数量积的应用思维启迪思维升华解析【例3】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.【例3】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.思维升华解析思维启迪两条直线的垂直关系可以转化为两个向量的垂直关系；利用|a|2＝a·a可以求线段长；利用cosθ＝a·b|a||b|可求两条直线所成的角.题型三空间向量数量积的应用【例3】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.思维启迪思维升华解析(1)证明设AB→＝p，AC→＝q，AD→＝r.由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.MN→＝AN→－AM→＝12(AC→＋AD→)－12AB→＝12(q＋r－p)，∴MN→·AB→＝12(q＋r－p)·p＝12(q·p＋r·p－p2)＝12(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0.题型三空间向量数量积的应用【例3】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.∴MN→⊥AB→.即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.(2)解由(1)可知MN→＝12(q＋r－p)，∴|MN→|2＝14(q＋r－p)2＝14[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝14[a2＋a2＋a2＋2(a22－a22－a22)]＝14×2a2＝a22.题型三空间向量数量积的应用思维启迪思维升华解析【例3】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.∴|MN→|＝22a.∴MN的长为22a.(3)解设向量AN→与MC→的夹角为