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10．8随机事件的概率考纲点击1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．考点梳理一、随机事件和确定事件1．在条件S下，①__________的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件．2．在条件S下，②__________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．3．必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．4．在条件S下，③______________________的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件．二、频率与概率1．在相同的条件S下重复n次试验，观察，某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例④__________为事件A出现的频率．2．对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的⑤__________fn(A)稳定在某个⑥__________上，把这个⑦__________记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．三、事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B⑧________事件A(或称事件A包含于事件B)⑨______(或A⊆B)并事件(和事件)若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的⑩__________(或和事件)A∪B(或A＋B)续表定义符号表示交事件(积事件)若某事件发生当且仅当⑪________且⑫______发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然条件，那么称事件A与事件B互为对立事件四、概率的几个基本性质1．概率的取值范围：⑬__________.2．必然事件的概率P(E)＝⑭__________.3．不可能事件的概率P(F)＝⑮__________.4．互斥事件概率的加法公式．(1)如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝⑯________.(2)若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝⑰______.答案：①一定会发生②一定不会发生③可能发生也可能不发生④fn(A)＝nAn⑤频率⑥常数⑦常数⑧包含⑨B⊇A⑩并事件⑪事件A发生⑫事件B⑬0≤P(A)≤1⑭1⑮0⑯P(A)＋P(B)⑰1－P(B)考点自测1.从6个男生、两个女生中任选3人，则下列事件中必然事件是()A．3个都是男生B．至少有1个男生C．3个都是女生D．至少有1个女生解析：因为只有两个女生，任选3人，则至少有1人是男生．答案：B2．已知集合M＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合M中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A＝{点落在x轴上}与事件B＝{点落在y轴上}的概率关系为()A．P(A)＞P(B)B．P(A)＜P(B)C．P(A)＝P(B)D．P(A)、P(B)大小不确定解析：横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的．答案：C3．某入伍新兵在打靶练习中，连续射击两次，则事件“至少有1次中靶”的对立事件是()A．至多有1次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有1次中靶解析：事件“至少有1次中靶”包括“中靶1次”和“中靶两次”两种情况，由对立事件的定义，可知“两次都不中靶”与之对立，故选C.答案：C4．下列说法正确的有()①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；③任意事件A发生的概率P(A)总满足0＜P(A)＜1；④若事件A的概率趋近于0，而P(A)＞0，则A是不可能事件．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由概率的定义知①正确；由基本事件的概念知②正确；对任意事件A,0≤P(A)≤1，当A是不可能事件时P(A)＝0，当A是必然事件时，P(A)＝1，故③不正确；④中P(A)趋近于0，说明事件A发生的概率很小，但仍有可能发生，不是不可能事件，故④不正确．综上应选C.答案：C5．袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率各是0.40和0.35，那么黑球共有__________个．解析：设红球、白球各有x个和y个，则x100＝0.40，y100＝0.35，∴x＝40，y＝35.∴黑球的个数为100－40－35＝25.答案：25疑点清源1.随机事件和随机试验是两个不同的概念在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，条件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果预先无法确定，这种试验就是随机试验．2．对概率定义的进一步理解(1)频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．(2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次结果的不肯定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本质属性．(3)概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小；概率的定义实际上也是求一个事件的概率的基本方法．3．互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件.题型探究题型一随机事件及其概率例1一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一只球．(1)“取出的球是红球”是什么事件，它的概率是多少？(2)“取出的球是黑球”是什么事件，它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件，它的概率是多少？解析：(1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红色”是不可能事件，其概率为0.(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率为38.(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率为1.点评：解决这类问题的方法是弄清随机试验的意义和每个事件的含义．判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件的依据是在一定的条件下，所要求的结果是否一定出现、不可能出现或可能出现、可能不出现．随机事件发生的概率等于事件发生所包含的结果数与该试验包含的所有结果数的比．变式探究1同时掷两颗骰子一次，(1)“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？(2)“点数之和在2～12范围之内”是什么事件？其概率是多少？(3)“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？解析：(1)由于点数最大是6，和最大是12，不可能得13，因此此事件是不可能事件，其概率为0.(2)由于点数之和最小是2，最大是12，在2～13范围之内，它是必然事件，其概率为1.(3)由(2)知，和是7是有可能的，此事件是随机事件，事件“点数和为7”包含的基本事件有{1,6}，{2,5}，{3,4}，{4,3}，{5,2}，{6,1}共6个，因此P＝66×6＝16.题型二互斥事件的概率例2一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1,2，…，10，从中任取一球，求下列事件的概率．(1)A＝{球的标号数不大于3}；(2)B＝{球的标号数是3的倍数}；(3)C＝{球的标号数为质数}．解析：(1)球的标号数不大于3包括三种情形，即球的标号数分别为1,2,3.P(A)＝P(球的标号数为1)∪P(球的标号数为2)∪P(球的标号数为3)＝110＋110＋110＝310.(2)球的标号数是3的倍数包括球的标号数为3,6,9三种情况，P(B)＝110＋110＋110＝310.(3)球的标号数为质数包括四种情况，即球的标号为2,3,5,7，P(C)＝110＋110＋110＋110＝410＝25.点评：运用互斥事件的概率加法公式解题时，①先要分清事件间是否是互斥事件；②要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，应注意考虑周全，不重不漏；③当正面思考问题比较复杂时，可从事件的对立面出发．变式探究2每一次抛一枚骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6)．(1)求抛一次骰子向上的点数是5或6的概率；(2)求连续抛掷2次骰子，向上的点数之和是6的概率．解析：(1)抛一次骰子向上的点数有6种可能，设“向上的点数是5”的事件为A，“向上的点数是6”的事件为B.事件A，B互斥．则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝16＋16＝13.(2)设C表示事件“抛掷2次，向上的点数之和为6”．∵向上的点数之和为6的结果有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)5种，∴P(C)＝536.题型三对立事件的概率例3国家射击队的队员为第51届世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．解析：记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.32＋0.28＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生．由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即B表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得P(B)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.点评：由此题可以看出，解决与互斥事件有关的问题时，首先要分清所求事件是由哪些事件组成的，然后结合互斥事件的定义分析出是否是互斥事件，再决定用哪一个公式．运用互斥事件的概率公式解题时，不仅要能分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件拆为几个互斥事件，但应注意考虑周全，不重复不遗漏．另外，要善于利用对立事件解题．变式探究3某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张．甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张．(1)两人都抽到足球票的概率是多少？(2)两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？解析：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B，则“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件A，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件B，于是P(A)＝610＝35，P(A)＝25；P(B)＝410＝25，P(B)＝35.由于甲(或乙)是否抽到排球票，对乙(或甲)是否抽到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件．(1)甲、乙两人都抽到足球票就是事件A·B发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P(A·B)＝P(A)·P(B)＝35·25＝625.(2)甲、乙两人均未抽到足球票(事件A·B发生)的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)＝25·35＝625.∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为P＝1－P(A·B)＝1－625＝1925.归纳总结•方法与技巧1．必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下发生的，当条件变化时，事件的性质也发生变化．2．必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况，因此，任何事件发生的概率都满足：0≤P(A)≤1.3