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10．1随机抽样考纲点击1.理解随机抽样的必要性和重要性．2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样方法．考点梳理1.简单随机抽样(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个①______地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会②______，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——③______法和④______法．(3)一般地，抽签法就是总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，⑤__________后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．(4)随机数表法就是利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．(5)简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的．2．系统抽样(1)一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：(1)先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；(2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当Nn(n是样本容量)是整数时，取k＝⑥______；(3)在第1段用⑦__________确定第一个个体编号l(l≤k)；(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l⑧__________得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号⑨__________，依次进行下去，直到获取整个样本．(2)当总体中元素个数较少时，常采用简单随机抽样，当总体中元素个数较多时，常采用⑩__________.3．分层抽样(1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)当总体是由⑪__________的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是⑫______的．答案：①不放回②都相等③抽签④随机数表⑤搅拌均匀⑥Nn⑦简单随机抽样⑧加上间隔k⑨(l＋2k)⑩系统抽样⑪差异明显⑫均等考点自测1.要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况．其中宜采用的抽样方法依次为()A．①简单随机抽样法，②系统抽样法B．①分层抽样法，②简单随机抽样法C．①系统抽样法，②分层抽样法D．①②都用分层抽样法解析：①中总体由差异明显的几部分构成，宜采用分层抽样法，②中总体中的个体数较少，宜采用简单随机抽样法，故选B.答案：B2．有20位同学，编号从1～20，现在从中抽取4人的作文卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为()A．5,10,15,20B．2,6,10,14C．2,4,6,8D．5,8,11,14解析：将编号分成4个组，每组5个号，间隔等距离为5.答案：A3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为()一年级二年级三年级女生373xy男生377370zA.12B．16C．18D．24解析：由已知可得二年级女生人数为2000×0.19＝380，∴一、二、三年级学生总数分别为750、750、500，∴用分层抽样法在全校抽64人时应在三年级抽取64×5002000＝16(人)．答案：B4．为了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采取系统抽样，则分段的间隔k为__________．解析：在系统抽样中，需确定分段间隔k，对编号进行分段，k＝Nn(N为总体的容量，n为样本的容量)，∴k＝Nn＝120030＝40.答案：405．防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样法抽取．红星中学共有学生1600名，抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了10人，则该校有女生__________人．解析：设女生有x人，则男生有(1600－x)人．由题知2001600×(1600－x)＝2001600×x＋10，解得x＝760.答案：760疑点清源1.简单随机抽样的特点总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽出的个体带有随机性，个体间无固定间距．2．系统抽样的特点适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．3．分层抽样的特点适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样.题型探究题型一简单随机抽样例1一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为__________．解析：每个个体被抽取的概率均为P＝5100＝120，故答案为120.答案：120点评：当从一个容量为N的总体中，抽取一个容量为n的样本时，每个体被抽取的概率均为P＝nN.变式探究1利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二个抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为()A.13B.514C.14D.1027解析：由题意知9n－1＝13，∴n＝28.∴P＝1028＝514.答案：B题型二系统抽样例2某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．解析：按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5＝59，我们把295名同学分成59组，每组5人．第1组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生．采用简单随机抽样的方法，从第1组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l(1≤l≤5)，那么抽取的学生编号为l＋5k(k＝0，1,2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当l＝3时的样本编号为3,8,13，…，288,293.点评：在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统抽样的方法进行抽样，系统抽样的步骤为：①采用随机的方法将总体中个体编号；②将整体编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N*)；③在第1段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号l；④按照事先预定的规则抽取样本．变式探究2某单位有在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取68名工人进行调查．如何用系统抽样方法完成这一抽样？解析：因为624＝68×9＋12，为了保证“等距”分段，应先剔除12人．第一步：将624名职工按随机方式进行编号；第二步：从总体中剔除12人(剔除方法可用随机数表法)，将剩下的612名职工重新编号(分别为000,001,002，…，611)，并分成68段；第三步：在第1段000,001,002，…，008这9个编号中，用简单随机抽样方法抽出一个，不妨设编号为k作为起始号码；第四步：在各段中抽取的职工编号为k＋9l(l＝0,1,2，…，67)，得到68个个体作为样本，如k＝003时样本为003,012,021，…，606.题型三分层抽样例3某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．解析：用分层抽样方法抽取．具体实施抽取如下：(1)∵20∶100＝1∶5，∴105＝2，705＝14，205＝4.∴从副处级以上干部中抽取两人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．(2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；将一般干部编号为00,01,02，…，69，然后用随机数表法抽取14人．(3)将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本．点评：从例题看分层抽样是一种实用性、操作性强，应用比较广泛的抽样方法，但必须保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同．变式探究3某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解析：(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有x·40%＋3xb4x＝47.5%，x·10%＋3xc4x＝10%，解得b＝50%，c＝10%.故a＝100%－50%－10%＝40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.(2)游泳组中，抽取的青年人数为200×34×40%＝60人；抽取的中年人数为200×34×50%＝75人；抽取的老年人数为200×34×10%＝15人.归纳总结•方法与技巧1．简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础，是一种等可能的抽样，由定义应抓住以下特点：①它要求总体个数较少；②它是从总体中逐个抽取的；③它是一种不放回抽样．2．系统抽样又称等距抽样，号码序列一确定，样本即确定了，但要求总体中不能含有一定的周期性，否则其样本的代表性是不可靠的，甚至会导致明显的偏向．3．抽样方法经常交叉使用，比如系统抽样中的第一均衡部分，可采用简单随机抽样．分层抽样中，若每层中个体数量仍很大时，则可辅之以系统抽样．•失误与防范分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意几点：①分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；②为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同；③在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.新题速递1.(2012·山东卷)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为()A．7B．9C．10D．15解析：由已知条件可知，应该把总体分成32组，每组96032＝30人，根据系统抽样的方法可知，i＝9，k＝30，在第1组到和第32组依次抽取到的是9,9＋30,9＋2×30，…，9＋31×30，由于9＋15×30＝459，而9＋24×30＝729，故而有24－15＋1＝10人，答案选C.答案：C2．(2013·江苏卷)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取__________名学生．解析：高二年级学生人数占总学生人数的310，样本容量为50，则50×310＝15，所以从高二年级抽取15名学生．答案：153．(2013·天津卷)某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取__________所学校，中学中抽取__________所学校．解析：设小学、中学各抽取x，y所学校，则有30150＋75＋25＝x150＝y75，解得x＝18，y＝9.答案：18,9