福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第12讲 函数的图象与变换

——掌握基本函数图象的作法描点法和图象变换法；会运用函数图象，理解研究函数的性质；会看图得到相关信息，即学会作图、识图、用图．.()_______12_.1__________________._________________()2axbayyxcxdx基本函数的图象要熟记：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及常用函数：图象略函数图象的基本作法有两种：①和②描点法作图的基本步骤是：③、④、⑤画函数图象时有时也可利用函数的性质如⑥以及图象上的特殊点、线如对称轴、渐近线等．．．_________________________.___________.图象的变换是指⑦在高考中要求学生掌握的三种变换是：⑧10().30yfxaayfxayfxkkyfxk平移变换：的图象向左或向右平移个单位长度得到函数．常用函数图象变换的图象；的图象向上或向下平移个单位长度得到函数的规律．2______________________||0___________0yfxyfxyfxyfxyfxyfxyfxyfxyfxyfxxx对称变换：与的图象关于⑨对称；与的图象关于⑩对称；与的图象关于对称；的图象可将函数的图象在，其余部分不变；的图象可将函数的图象在的部分作出，再利用，作出的图象．30_______()(0)_________________ykfxkyfxyfwxwyfx伸缩变换：的图象可将函数的图象上所有点的而得到．的图象可将函数的图象上所有点的得到．【要点指南】1.下列函数图象中，正确的是().【解析】对A、B，由y＝x＋a的图象，知a1，可知A、B图象不正确；对C、D，由y＝x＋a的图象知0a1，所以y＝logax应为减函数，D错，故选C.2.已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果abc，且a＋b＋c＝0，则它的图象是()【解析】因为abc，且a＋b＋c＝0，得a0，c0，所以f(0)＝c0，只能选D.3.函数y＝1－1x－1的图象是()【解法1】特殊值法当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝2.观察图形应选B.【解法2】图象变换法可将y＝1－1x－1的图象看成y＝－1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位所得．4.(2011·陕西卷)方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个解【解析】画出偶函数y＝|x|，y＝cosx的图象．易知只有两个根．5.现将y＝g(x)图象沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度，所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示)，则函数g(x)的表达式为g(x)＝x2－10≤x≤22x－42x≤3..【解析】由图象可求得对应的解析式h(x)＝x2＋1－2≤x≤02x＋10x≤1将函数g(x)的图象向左平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得到h(x)的图象，所以g(x)＝x2－10≤x≤22x－42x≤3.易错点：(1)平移方向弄反，h(x)变g(x)应向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度；(2)函数的定义域范围出错，应根据平移相应改变．一函数图象的变换【例1】作出下列函数的大致图象：(1)y＝|x－2|(x＋1)；(2)y＝2－xx＋1；(3)y＝|lg|x||.(4)y＝x2－2|x|－1.【分析】这几个函数的图象均可由最基本的函数图象经过几种变换得到．【解析】(1)函数的定义域为实数集R，y＝|x－2|(x＋1)＝x－122－94x≥2－x－122＋94x2，由二次函数的图象经过变换作出其图象，如图甲．(2)函数的定义域为{x|x∈R，且x≠－1}，因为函数y＝2－xx＋1＝3x＋1－1，因此由y＝3x的图象向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度即可得到函数y＝2－xx＋1的图象．对分子、分母都是一次的分式函数，它的图象特点是有一个对称中心，有两条渐近线，可通过分离常数的方法求解，如图乙．(3)函数的定义域是{x|x≠0，x∈R}，先作y＝lgx关于y轴对称的图象，得到y＝lg(－x)，共同组成y＝lg|x|的图象，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得到y＝|lg|x||的图象，如图丙．(3)函数的定义域是{x|x≠0，x∈R}，先作y＝lgx关于y轴对称的图象，得到y＝lg(－x)，共同组成y＝lg|x|的图象，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得到y＝|lg|x||的图象，如图丙．(4)设函数为偶函数，x≥0时，y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2.顶点为(1，－2)与y轴交于(0，－1)，与x轴交于(1＋2，0)，所以当x0时图象顶点(－1，－2)与x轴交于(－1－2，0)．【点评】“由式作图”这是高考中常见的一类问题，解决这类问题主要是将解析式进行化简，然后与一些熟知的函数图象相联系，通过各种图象变换得到要求的函数图象．另外，还要善于借助解析式，发现函数的性质(如单调性、奇偶性、对称性、周期性等)，以此帮助分析函数的图象特征．其基本步骤：①求出函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质；④利用基本函数的图象画出所给函数的图象．函数y＝|loga|x||＋1(0a1)的图象大致为()素材1【解析】方法1：作出函数y＝logax(0a1)的图象，然后保留y轴右侧图象不变，再将y轴右侧图象对称到左侧，得到y＝loga|x|的图象，再将此图象x轴上方图象保留，将x轴下方图象翻折到上方得y＝|loga|x||的图象，再向上平移一个单位长度，可得|loga|x||＋1的图象，故选B.方法2：|loga|x||＋1为偶函数，其最小值为1，故选B.二识图与辨图【例2】(1)(2011·山东卷)函数y＝x2－2sinx的图象大致是()(2)如图所示，那么函数y＝|f(x＋1)|的图象是()【解析】(1)由y＝x2－2sinx为奇函数，排除A；当x→＋∞时，f(x)0，排除D；又y′＝12－2cosx，当x0时，y′可能大于0，也可能小于0，显周期性变化，故图象呈周期性递增递减，排除B，故选C.(2)先将y＝f(x)的图象向左平移1个单位，得到y＝f(x＋1)的图象，再将x轴下方图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方，即得到图象A.【点评】“给式辨图”题一般从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、最值及经过的特殊点入手，有时也根据已知函数图象通过变换得目标函数图象，或采取逐一排除法选取．若函数f(x)＝2－mxx2＋m的图象如图，则m的取值范围为()A．(－∞，－1)B．(－1,2)C．(1,2)D．(0,2)素材2【解析】用排除法．若m≤0，则定义域不符，故可排除A、B.若m＝1，则f(x)＝xx2＋1，则当x＝±1时，f(x)取极值，与图象不符，可排除D，故选C.三函数图象法的应用【例3】(1)已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，对于满足0x1x21的任意x1、x2，给出下列结论：①f(x2)－f(x1)x2－x1；②x2f(x1)x1f(x2)；③fx1＋fx22f(x1＋x22)．其中正确的结论的序号是_____．(2)已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.①求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；②求实数m的值，使方程mt＝f(x)有且仅有四个实根．【分析】本题属于识图问题，通过对给出的函数图象的分析、判断，抽象出函数所具有的一些性质、满足的条件等．【解析】(1)由图象给出信息得f(x)在[0,1]上单调递增，故①正确；由函数图象在每一点处的切线的倾斜角都是递减的，知fx2x2fx1x1，得②正确；作出fx1＋fx22与f(x1＋x22)对应的点发现，③也正确．(注③实际是说f(x)是“凸函数”)．故填①②③.(2)①(1)f(x)＝|x2－4x＋3|＝x2－4x＋3x∈－∞，1]∪[3，＋∞－x2＋4x－3x∈1，3图象如下，所以f(x)在(－∞，1]递减，在[1,2]递增；在[2,3]递减在[3，＋∞)递增．②由右图可知要使直线y＝mx与y＝|x2－4x＋3|有且仅有四个交点，则直线y＝mx需在x轴与切线之间，所以y＝mxy＝－x2＋4x－3⇒x2＋(m－4)x＋3＝0，Δ＝(m－4)2－12＝0，解得m＝4±23，当m＝4＋23时，x＝－3∉[1,3]，当m＝4－23，x＝3∈[1,3]，所以当m＝4－23时，方程mx＝f(x)有且仅有四个实根．【点评】1.利用函数的图象研究函数的性质，要注意挖掘关系，如图象的左右范围得定义域；上、下范围得值域；上升、下降得单调性；对称性找奇偶关系．2．有关方程解的个数问题与两个熟悉的函数的交点个数常相互转化，也可求参数值．3．有关不等式问题常转化为两函数图象的上、下位置关系来解．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，试求实数a的取值范围．素材3【解析】令y＝(x－1)2，y＝logax，在同一坐标系内作出它们的图象．若当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，则必须在区间(1,2)上函数y＝(x－1)2的图象在函数y＝logax的图象的下方，如右图．此时必须a1，且loga2≥(2－1)2，解得a≤2，所以1a≤2.即a的取值范围是(1,2]．备选例题若关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝x至少有三个不相等的实数根，试求实数a的取值范围．【分析】原方程重新整理为|x2－4x＋3|＝x＋a，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a的取值范围．【解析】原方程变形为|x2－4x＋3|＝x＋a，于是，设y＝|x2－4x＋3|，y＝x＋a，在同一坐标系下分别作出它们的图象，如图．①当a－3时，由图可知，函数y＝|x2－4x＋3|与函数y＝x＋a的图象无交点，不合题意，舍去．②当a＝－3时，由图可知，函数y＝|x2－4x＋3|与函数y＝x＋a的图象只有一个交点，不合题意，舍去．③当－3a－1时，由图可知，函数y＝|x2－4x＋3|与函数y＝x＋a的图象有两个交点，不合题意，舍去．④当a＝－1时，由图可知，函数y＝|x2－4x＋3|与函数y＝x＋a的图象有三个交点，符合题意．若方程－x2＋4x－3＝x＋a有两个相等的实根，即x2－3x＋3＋a＝0有两个相等的实根，此时Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－34.⑤当－1a－34时，由图可知，函数y＝|x2－4x＋3|与函数y＝x＋a的图象有四个交点，符合题意．⑥当a＝－34时，由图可知，函数y＝|x2－4x＋3|与函数y＝x＋a的图象有三个交点，符合题意．⑦当a－34时，由图可知，函数y＝|x2－4x＋3|与函数y＝x＋a的图象有两个交点，不合题意，舍去．综上所述，实数a的取值范围是[－1，－34]．123．作函数图象的常用方法有描点法和变换法，对前者，要注意对函数性质的研究；对后者，要熟悉常见的函数图象及图象的变换法则．．“识图”问题，能根据给定的函数图象观察函数的有关性质，如奇偶性、单调性、周期性、最值或极值等．．“用图”问题，由于函数的图象提供了形的直观性，因而为灵活利用图象处理有关不等式、方程的解的个数、求参数范围等问题提供了有力的工具．