福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第13讲 函数与方程

结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．结合具体函数的图象，能用二分法求近似解．1__________20________________.3[]__________()______()__________10yfxyfxfxyfxyfxyfxabyfxabcabcfx对于函数，我们把使①叫做函数的零点．方程有实根函数的图象②函数③如果函数在区间，上的图象是连续不断的一条曲线，并且④，那么，函数在区间，内有⑤，即存在，，使得⑥，这个也就是零点方程．函数的的根．1[]0______________________________.2abfafbyfxfx对于在区间，上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在区间⑦，使区间的两个端点逐步逼近⑧，进而得到零点近似值的方法叫做⑨．二分法002[]0()()0()0(())()0(())efxabfafbeabcfcfccfafcbcxacfcfbacxcbeabe给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：第一步，确定区间，，验证，给定精确度；第二步，求区间，的中点，；第三步，计算；ⅰ若，则就是函数的零点；ⅱ若，则令此时零点，；ⅲ若，则令此时零点，．第四步，判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似()ab值或；否则重复第二、三、四步．000fxxxfafbfc①的实数；②与轴有交点；③有零点；④；⑤零点；⑥；⑦一分为二；⑧零点【要点指南】；⑨二分法1.(2012·龙岩模拟)函数f(x)＝x－4x的零点为()A．0B．±2C．(2,0)、(－2,0)D．0,2，－2【解析】令f(x)＝0，即x－4x＝0⇒x2－4＝0且x≠0，所以x＝±2.易错点：将函数的零点与点坐标混淆．.2.(2011·新课标)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A．(－14，0)B．(0，14)C．(14，12)D．(12，34)【解析】显然f(x)为R上增函数，又f(14)＝e14＋4×14－3＝4e－20，f(12)＝e12＋4×12－3＝e－10，所以在(14，12)内有且仅有一个零点．3.函数f(x)＝3ax＋1－2a，在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是()A．－1a15B．a15C．a15或a－1D．a－1【解析】令f(－1)·f(1)0，得a15或a－1，故选C.4.如图所示，函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是()【解析】由二分法定义可知选B.5.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根时，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是(2,2.5).【解析】令f(x)＝x3－2x－5.又f(2)＝23－2×2－5＝－10，f(2.5)＝(52)3－2×52－5＝4580，f(3)＝160，则下一个有根区间是(2,2.5)．一函数零点的判断与求解【例1】若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过14，则f(x)可以是()A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝ln(x－12)【解析】易知f(x)＝4x－1的零点为x＝14；f(x)＝(x－1)2的零点为x＝1，f(x)＝ex－1的零点为x＝0；f(x)＝ln(x－12)的零点为x＝32；作出y1＝4x与y2＝2－2x的图象，易知零点只有一个x0，且g(0)＝－10，g(12)＝10，g(14)＝2＋12－20，所以g(x)的零点x0∈(14，12)．又函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过14，只有f(x)＝4x－1的零点适合，故选A.【点评】(1)当方程的根可能存在的区间已知时，用零点存在定理判断即可；当根可能存在的区间未知时，要构造函数，观察图象．研究一个函数的零点，还是两个函数图象的交点，前提是函数能否易于作出图象．再如求x＋|lgx|＝2的实根的个数，可考察函数y＝|lgx|，y＝2－x的交点的个数．(2)两函数图象交点个数问题，常转化为一个函数的零点个数问题，进而由零点存在定理判断，必要时要考察函数的单调性．实数a，b，c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且abc，又f(a)·f(b)0，f(b)·f(c)0，则函数y＝f(x)在区间(a，c)上的零点的个数为()A．2B．不小于2的偶数C．不小于2的自然数D．不小于2的奇数.素材1【解析】由f(a)·f(b)0知，f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点；由f(b)·f(c)0知，f(c)在区间(b，c)内至少有一个零点，所以在(a，c)上至少有2个零点，故选C.二函数零点的性质的应用【例2】已知a∈R，函数f(x)＝x2＋2ax＋1，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．【解析】①Δ＝0⇒a＝±1，此时当a＝1时，x＝－1∈[－1,1]；当a＝－1时，x＝1∈[－1,1]，合乎题意．②f(x)在区间[－1,1]上只有一个零点且不是f(x)＝0的重根，此时有f(－1)f(1)0⇒a1或a－1.③函数f(x)在区间[－1,1]上有两个相异实根，则有Δ0f－1≥0f1≥0－1－2a21⇒a∈∅.综上知，函数f(x)＝x2＋2ax＋1在[－1,1]上有零点，则a的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．【点评】1.二次函数零点的个数就是方程ax2＋bx＋c＝0的实根个数，一般地，由Δ0、Δ＝0、Δ0判断．2．在闭区间上零点的个数应由零点判定定理及函数图象性质一并实施．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－2(a≠0)，若存在实数x0，使f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的不动点．素材2(1)当a＝－b＝2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意的实数b，函数f(x)恒有两个不动点，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a＝－b＝2时，函数f(x)＝2x2－x－4.设x为f(x)的不动点，则2x2－x－4＝x，即2x2－2x－4＝0，解得x1＝－1或x2＝2，所以函数f(x)有两个不动点－1和2.(2)由于f(x)＝x，即ax2＋bx＋b－2＝0，依题意，此方程有两个相异实数根，则Δx＝b2－4a(b－2)0，即b2－4ab＋8a0恒成立，故Δb＝16a2－32a0，解得0a2，所以，实数a的取值范围为(0,2)．三二分法【例3】用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度为0.1)．【解析】由于f(1)＝1－1－1＝－10，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.8750，所以f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算列表如下：端(中)点坐标中点函数值符号零点所在区间|an－bn|[1,1.5]0.51.25f(1.25)0[1.25,1.5]0.251.375f(1.375)0[1.25,1.375]0.1251.3125f(1.3125)0[1.3125,1.375]0.0625因为|1.375－1.3125|＝0.06250.1，所以函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.3125,1.375]内，故函数零点的近似值为1.3125.【点评】1.求函数零点的近似值的关键是判断二分法求值过程中，区间长度是否小于精确度ξ，当区间长度小于精确度ξ时，运算结束，而此时取的中点值即为所求，当然也可取区间端点的另一个值．2．“精确度”与“精确到”是两个不同的概念，精确度最后的结果不能四舍五入，而精确到只需区间两个端点的函数值满足条件，即取近似值之后相同，则此时四舍五入的值即为零点的近似解．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054素材3那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为()A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5【解析】由于f(1.4375)＝0.1620，f(1.40625)＝－0.0540，且|1.40625－1.4375|＝0.031250.1，所以由二分法可知其根在区间(1.40625,1.4375)上，故选C.备选例题(2012·杭州西湖中学)定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝log12x＋1x∈[0，11－|x－3|x∈[1，＋∞，则关于x的方程f(x)＝a(－1a1)的所有解之和S＝12a－1－1a≤01－2a0a1.(用含a的式子表示)【解析】作出函数f(x)的图象如图．当－1a≤0时，y＝a与y＝f(x)有五个交点，即f(x)＝a依次有五个根x1、x2、x3、x4、x5且x1＋x2＝－6，log12(x3＋1)＝a，x4＋x5＝6，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝x3＝(12)a－1；当0a1时，记f(x)＝a依次五根为x′1、x′2、x′3、x′4、x′5，且x′1＋x′2＝－6，f(x′3)＝－f(－x′3)＝－log12(－x′3＋1)＝a⇒x′3＝1－2a，x4＋x5＝6，所以x′1＋x′2＋x′3＋x′4＋x′5＝1－2a，综上可得所有解之和为S＝1－2a1a012a－1－1a≤0.210(0)2axbxca．二次方程＋＋＝的根分布问题，既可以运用公式法先求出方程的根，再列出等价条件组，也可以引入二次函数，由函数的图象特征列出等价的条件组，应因题而异，优化解题的思路．．函数与方程这一节内容渗透了丰富的数学思想方法，解题时需具有敏锐的观察力和较强的等价转化问题的能力，把复杂的问题化归为二次方程或二次函数问题，再运用等价转化思想、函数与方程思想、分离参数方法、分类讨论思想等解决问题．3 ．二分法求方程近似解的过程中，解法的程序框图蕴涵着算法思想、符号化、模型化的思想．这些思想是现代数学的重要思想，是信息技术与数学内容有机的整合．在学习中注意体会并加以运用，有利于我们数学能力的培养、综合素质的提高．