福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第35讲 数列模型及综合应用

1.认识数列的函数特性，能结合方程、不等式、解析几何、算法等知识解决一些数列问题.2.掌握与等差数列、等比数列有关的实际应用问题的解法..12.1arxyarxy按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，存期为期，则本利和①______利用按单利计算，本金为元，每期利率．数列实际为，存期为应用题常见的数学模型，则本利和复利公式．单利公②___式___．114.3nnnnNpxyafaSfS原来产值的基数为，平均增长率为，对于时间的总产值③_______递推型有与类，猜证型主要是写出前若干项，猜测结论，并根产值模型．递据题设条件加推与猜证型以证明．2．数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与函数、数列与解析几何等11xxaraarxNp①；②；③【要点指南】1.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存为原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据64MB(1MB＝210KB)()A．45B．48C．51D．42【解析】由题意，每分钟病毒占据的内存构成一个等比数列，占据64MB共复制了n次，则2×2n＝64×210＝216，即n＝15，共花时间为15×3＝45分钟．2.A、B两个工厂2010年元月份的产值相等，A厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同，B厂产值也逐月增加且月增长率相同，而2011年元月份两厂的产值又相等，则2010年7月份产值高的是()A．A厂B．B厂C．一样高D．不能确定【解析】设两个工厂的月产值从2010年元月起依次组成数列{an}、{bn}；易知{an}成等差数列，{bn}成等比数列，且a1＝b1，a13＝b13，且a7＝a1＋a132，b7＝b1·b13＝a1·a13a1＋a132(a1≠a13)＝a7，即a7b7，即A厂2010年7月份产值高于B厂．3.在一个凸多边形中，最小内角为120°，各内角度数成等差数列，公差为5°，则这一凸多边形的边数为()A．9B．16C．9或16D．9或10【解析】设凸多边形边数为n，其内角和为180°·(n－2)，依题意，有n·120°＋12n(n－1)×5°＝180°·(n－2)，化简得n2－25n＋144＝0，解得n＝9或n＝16.当n＝16时，最大内角为120°＋(16－1)×5°＝195°∉[0°，180°)，故n＝16舍去，当n＝9时，最大内角为120°＋(9－1)×5°＝160°.4.已知数列{an}的通项an＝nn2＋58，则数列{an}的最大值为461.【解析】由于an＝nn2＋58＝1n＋58n，因为n＋58n≥2n·58n＝258，当且仅当n＝58n，即n＝58时“＝”成立，但n∈N*取不到58，因为f(x)＝x＋58x在(0，58)单调递减，(58，＋∞)单调递增，与58最靠近的正整数有7和8，f(7)＝7＋587＝15＋27，f(8)＝8＋588＝15＋28，所以f(8)f(7)，a8＝115＋28＝461，所以n＝8时，an的最大值为461.5.弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有()A．3颗B．4颗C．8颗D．9颗【解析】熟悉正四面体的特征，由题设构造模型：第k层为k个连续自然数的和；化简通项再用分组求和法．依题设，第k层正四面体为1＋2＋3＋…＋k＝kk＋12＝k2＋k2，则前k层共有12(12＋22＋…＋k2)＋12(1＋2＋…＋k)＝kk＋1k＋26≤60，k最大为6，剩下4颗，故选B.一建立等差或等比数列模型解应用题【例1】(2011·湖南卷)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An＝a1＋a2＋…＋ann.若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．【解析】(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为34的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×(34)n－6.因此，第n年初，M的价值an的表达式为an＝130－10nn≤670×34n－6n≥7.(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得：当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n；当n≥7时，由于S6＝570，故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70×34×4×[1－(34)n－6]＝780－210×(34)n－6，An＝780－210×34n－6n.因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，又A8＝780－210×3428＝824764＞80，A9＝780－210×3439＝767996＜80.所以须在第9年初对M更新．【点评】数列的实际应用，应将实际问题转化为等差、等比数列问题，找准首项，公差(比)弄清求什么；常有两种解法：一种是归纳法、归纳出前n次(项)，寻找规律，再写出前n次(项)的通项(或前n项和)，此时要注意下标或常指数的规律．第二种是递推法，寻找前后两项的递推关系，再从递推关系求an，Sn，此时应注意第n－1次变到第n次的变化过程．某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元．两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？(参考数据：1.0510＝1.629,1.310＝13.786,1.510＝57.665)素材1【解析】甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，①甲方案获利：1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝1.310－10.3≈42.62(万元)，银行贷款本息：10(1＋5%)10≈16.29(万元)，故甲方案纯利：42.62－16.29＝26.33(万元)，②乙方案获利：1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)＝10×1＋10×92×0.5＝32.50(万元)；银行本息和：1.05×[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)9]＝1.05×1.0510－10.05≈13.21(万元)，故乙方案纯利：32.50－13.21＝19.29(万元)；综上可知，甲方案更好．.【点评】这是一道比较简单的数列应用问题，由于本息与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解．.二数列与平面向量等的综合【例2】已知点A(1,0)，B(0,1)和互不相同的点列P1，P2，P3，…，Pn，…，且满足OPn→＝anOA→＋bnOB→(n∈N*)，其中{an}、{bn}分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若P1是线段AB的中点．(1)求a1，b1的值；(2)讨论：点P1，P2，P3，…，Pn，…是否共线．【解析】(1)因为P1是线段AB的中点，所以OP1→＝12OA→＋12OB→，又OP1→＝a1OA→＋b1OB→，且OA→，OB→不共线，由平面向量基本定理，知a1＝b1＝12.(2)由OPn→＝anOA→＋bnOB→(n∈N*)，得OPn→＝(an，bn)．设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则由于P1，P2，P3，…，Pn，…互不相同，所以d＝0，q＝1不会同时成立．1°若d＝0且q≠1，则an＝a1＝12(n∈N*)⇒P1，P2，P3，…，Pn，…都在直线x＝12上；2°若q＝1且d≠0，则bn＝12为常数列⇒P1，P2，P3，…，Pn，…都在直线y＝12上；3°若d≠0且q≠1，P1，P2，P3，…，Pn，…共线⇔Pn－1Pn＝(an－an－1，bn－bn－1)与PnPn＋1＝(an＋1－an，bn＋1－bn)共线(n1，n∈N*)⇔(an－an－1)(bn＋1－bn)－(an＋1－an)(bn－bn－1)＝0⇔d(bn＋1－bn)－d(bn－bn－1)＝0⇔bn＋1－bn＝bn－bn－1⇔q＝1，与q≠1矛盾，所以当d≠0且q≠1时，P1，P2，P3，…，Pn，…不共线．【点评】本题是数列与平面向量综合的基本题型，以平面向量共线为载体构造数列递推关系或等式，从而得到数列通项及属性，使得问题得到解决．三数列与算法的创新整合【例3】阅读下列算法，指出当输入的四个数依次为1,1,0,0时，输出的结果是什么？S1：输入a，b，c，n；S2：n＝n＋1；S3：a＝2a；S4：b＝b＋2；S5：c＝c＋ab；S6：若c≤500，则转S2；S7：输出n，c.【解析】从数列的角度看算法，则S3可以看作an＋1＝2an；S4可以看作bn＋1＝bn＋2；S5可以看作cn＋1＝cn＋an＋1·bn＋1，输入的四个数依次为1,1,0,0，即a0＝1，b0＝1，c0＝0，n＝0，故an＝2n，bn＝2n＋1，cn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.因为c1＝3×2＝6，c2＝6＋5×4＝26，c3＝26＋7×8＝82，c4＝82＋9×16＝226，c5＝226＋11×32＝578500，执行S7，故输出的结果是5,578.【点评】数列中的递推关系与算法中的循环结构简直就是“天造地设的一对”，同学们应重视．备选例题银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案——一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元．两种方案的使用期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多(计算结果精确到千元，参考数据：1.110≈2.594,1.310≈13.786)．【解析】甲方案10年获利是每年获利数组成的数列的前10项的和，即1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝1.310－11.3－1≈42.62(万元)．到期时银行贷款的本息为10(1＋10%)10＝10×2.594＝25.94(万元)，所以甲方案扣除贷款本息后，净获利42．62－25.94≈16.7(万元)；乙方案逐年获利组成一个等差数列，10年共获利1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)＝10×5.5＋12＝32.50(万元)，而贷款本息为(1＋10%)＋(1＋10%)2＋…＋(1＋10%)10＝1.1[1－1.110]1－1.1≈17.53(万元)所以乙方案扣除贷款本息后，净获利32．50－17.53≈15.0(万元)．比较可知，甲方案比乙方案获利多．.().1.?nnaSn数列作为特殊的函数，在中学数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的开放性问题广泛而多样，诸如圆钢堆垒、增减率、银行信贷、浓度匹配、养老保险等问题解答数列应用问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差比数列、递推数列的模型，再综合运用其他相关知识来解决问题建立数列模型时，应明确是等差数列模型还是等比数列的模型，或是递推数列模型？是求，还是求，或是求..1.22.数列综合问题的常用处理方法数列是一种特殊的函数，因此解数列题应注意运用函数与方程的思想与方法等价转换思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列求和问题经常转化为等差、等比或常见的特殊数列的求和问题....1,324.nnqSann由特殊到一般及由一般