三维旋转群SO(3)

1第五章三维旋转群SO(3)本章将讨论物理上常用的一种李群三维旋转群SO(3).旋转群在物理学的应用中占有十分重要的地位.它不仅是描述物理系统在普通坐标空间中各向同性的对称群，也是处理物理系统内部对称性的有用工具.本章我们将介绍三维旋转群SO(3)的基本知识.§5.1三维旋转群SO(3)SO(3)群是三参数的李群，在§4.5节例3中，我们曾求得SO(3)群的群元素.在那里，三个群参数选为坐标系绕三个坐标轴的三个转角、、.在实际应用中，人们通常取三个欧勒角作为SO(3)群的群参数.这一节，我们将导出该情况下，SO(3)群的群元素的具体形式.3]n1),-n(n21[122)(2采用欧勒角描述SO(3)群的转动时，其转动方式如下：(1)先将坐标系绕z轴转角，这时矢量变为，其矩阵形式为：其中(2)接着绕新坐标系的轴转角，变矢量为，其矩阵形式为：rr)1(r)(Rrz1000cossin0sincos)(Rzyrr)2(r)(Rry3显然这样绕新坐标系轴的转动，变成绕原坐标系坐标轴的转动，其中将(1)与(3)代入(2)得与的变换关系(3)最后绕轴转角，变矢量为,其矩阵形式为)3()(R)(R)(R)(R1zyzyycos0sin010sin0cos)(Ryrr)4(r)(R)(Rryzzrr)5(r)(Rrz4而将(4)与(6)代入(5)式得与之间的变换关系为：其中)6()](R)(R)[(R)(R)(R)(R1yzzyzzrrr),,(Rr)(R)(R)(Rrzyz1000cossin0sincoscos0sin010sin0cos1000cossin0sincos)(R)(R)(R),,(Rzyz5亦即这就是用三个欧勒角、、表示的SO(3)群的群元素的表达式.其中与是绕子z轴的转角，是球坐标系中的方位角，它们处在范围,.为绕y轴的转角，是球坐标系中的极角，处在范围.在上式中取，得：cossinsincossinsinsin)coscossincos(sinsincoscoscossinsincos)cossinsincos(cossinsincoscoscos),,(R2020001000)cos()sin(0)sin()cos(),0,(R6因此，单位元不仅处在零参数处，亦处在与处，所以三个欧勒角不是正则参数.§5.2SO(3)群与SU(2)群同态为了求得SO(3)群的表示，我们先讨论SO(3)群与SU(2)群的同态关系.然后，通过研究SU(2)群的不可约表示，来得到SO(3)群的不可约表示.在§4.3节例3中我们曾求得SU(2)群的群元素为：000**abbaU)1(1ba227SU(2)群与SO(3)群一样也是一个三参数李群.SO(3)与SU(2)两群间存在着同态关系，具体地说就是SO(3)群中的一个元素对应于SU(2)群中的两个元素，下面我们来证明这一结论.设三维空间矢量的分量为.它与泡利矩阵的点积为：上式表明：M是一个无迹厄米矩阵,且取，并对M作相似变换r)x,x,x(321)2(xixxixxxxxxrM321213332211)xxx(Mdet232221)2(SUU)3(UMUM8由于U是幺正矩阵，所以.另矩阵的迹在相似变换下不变，所以与一样也是一无迹厄米矩阵.由于任何无迹厄米矩阵都可由泡利矩阵线性组合给出，所以可以表示成此时由于矩阵的行列式在相似变换下不变，所以，亦即即由所构成的相似变换(1)与正交变换一样,不改变矢量的长度，因此每一个应对应一个三维空间的正交变换.亦即，对于1UUMM22M)4(xxixxixxxrM32121331kkk),xxx(Mdet232221MdetMdet)5(xxxxxx232221232221)2(SUU)2(SUU9对应于下面我们给出每一个所对应的三维空间正交变换的具体表达式.将(1)、(2)与(4)代入(3)得由上式可以确定出与之间的变换关系UrUUMUrM)2(SUUrMrRrRrUU)2(SUUURabbaxixxixxxabbaxxixxixx**321213**321213)x,x,x(r321)x,x,x(r321)6(r)b,a(RrU10从而可以求得这里的就是三维空间中的一个正交变换矩阵，进一步可以证明这种证明是简单的，正交变换矩阵的行列式只能是,即要么是+1，要么是－1.而的两参数空间)7()bbaa)abba(iabba)abba(i)bbaa(21)bbaa(2i)abba()bbaa(2i)bbaa(21)b,a(R********2*22*22*22*2**2*22*22*22*2U)b,a(RU1)b,a(RdetU1)b,a(RdetU1)b,a(RdetU11是不连通的.由于当a=1,b=0时，f(a,b)=+1,所以在整个参数空间，.因此代表三维空间的一个纯转动变换.也就是说，对于每一个，都有一个与之对应.下面我们来证明，这个对应关系是同态的.设现在要证明的是，即两元素乘积的映射等于两元素映射的乘积.由前面的(2)、(3)、(4)与(6)式得1)b,a(RdetU)b,a(RU)2(SUU)3(SO)b,a(RU)3(SOR)2(SUUU)8()3(SOR)2(SUVV)3(SOR)2(SUUVUVVUUVRRR)9()rR()6(r)4(VrV)2(VMV)3(MV式式式式12两边用U与作用得亦即另外根据假设因此这证明了(8)式表示的映射，保持了乘法规律不同，因此SU(2)与SO(3)间存在同态对应关系.上面我们只证明了SU(2)与SO(3)群间的同态对应关系，下面我们将证明，这种对应关系不是1－1的，而是SU(2)的两个群元素，对应于SO(3)的一个群元素.U)rRR(rRr)rR()9(UrU)9()UV(UVMUUVMVVUVU式式)rRR()UV(UVMVU)rR()UV)(r(UVUVVUUVRRR13因为对于任意的由于所以应对应于SO(3)中的同一元素，亦即SU(2)中的两个元素对应于SO(3)中的一个元素.由于上述同态特点，通常称SU(2)是SO(3)的覆盖群，而商群与SO(3)同构.(1)、(7)两式仅给出了一般情况下,与矩阵元间的关系，下面我们来求一下，对应于§5.1节用欧勒角表示的应具有的形式.设取形式，)2(SUU，)U(M)U(UUMM).2(SUU-，)2(SUU)2(Z)2(SU，)2(SUU，)3(SORU，)3(SO),,(R，)2(SU),,(U)2(SU)(U12i2i1e00e)(U14其中为实数，则(1)式中的，b=0,将它们代入(7)式得：即对应于绕z轴转角的正交变换矩阵，进一步再假即此时(1)式中的，,将它们代入(7)式得：R2iea1000cossin0sincos)(R1U1UR21cos21sin21sin21cos)(U221cosa21sinb15即此时，是绕y轴转角的正交变换矩阵.由于，所以它们对应的cos0sin010sin0cosR2U)3(SOR2U)(R)(R)(R),,(R121UUUU2i2i2i2i121e00e21cos21sin21sin21cose00e)(U)(U)(U),,(U16亦即这就是与用欧勒角表示的正交变换矩阵所对应的，将其与(1)式相比较知通常将a，b的上述形式称为凯莱－克莱因(Cayley-Klein)参数.由上式可以看出，当，（或）时，，.所以,但此时21cose21sine21sine21cose),,(U2i2i2i2i),,(RU),,(u21cosea2i21sineb2i22aabbUU)3(SO),,(RU17保持不变，因此一个对应于两个.)3(SO),,(RU)2(SUU