第九讲 静电学问题的等效处理

第1页共22页第九讲静电学问题的等效处理湖南郴州市湘南中学陈礼生一、知识点击1．库仑定律和电荷守恒⑴库仑定律：真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小与两电荷电量的乘积成正比，与两电荷之间的距离的平方成反比；其作用力的方向沿着两电荷的连线，同号相斥，异号相吸．即122qqFKr⑵电荷守恒定律：摩擦起电和静电感应等实验都说明了：电荷既不能被创造、也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的这一部分转移到物体的另一部个定律为电荷守恒定律．它是物理学的重要定律之一。2．电场强度和电势⑴电场强度是一个从力的角度来描写电场的物理量，定义为FEq根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力大小为2QqFkr显然，F是一个既与形成电场的电荷Q有关，又与试探电荷q有关的量，将E定义成Fq可以理解为从F量中删去外加因素（即试探电荷q），剩下的便是纯粹的场因素了。物理学中大多数用两个物理量的商来定义的物理量，都是起源于这样一个思想。⑵电势：电势U是从能量的角度来描写电场的物理量，定义为WUq3．静电场中的导体和电介质⑴静电场中的导体：导体内部有能自由移动的电荷，置于外电场时，导体内部自由电荷移动，当电荷分布、电场分布不随时间变化时，我们则称达到静电平衡．静电平衡的条件是：导体内部场强处处为零．第2页共22页导体静电平衡时：（a)导体是等势体，导体表面是等势面；（b)净电荷分布在导体表面，孤立导体表面曲率大处表面电荷面密度也大；（c）导体表面附近场强与表面垂直，其大小与导体表面对应点的电荷面密度的关系为0E。⑵静电场中的电介质：电介质就是绝缘体，其中没有能自由移动的电荷，无外电场时对外不显电性．当有外电场存在时，电介质分子的正负电荷都会顺着和逆着电场线发生偏移，从而使介质表面甚至内部出现电荷，这种现象称为电介质的极化，出现的电荷称为极化电荷．极化电荷也要产生电场．在介质内部，极化电荷产生的电场与外电场方向相反，从而削弱原电场，削弱的程度与电介质本身的性质有关．为描绘电介质的这一性质，引人电介质的相对介电常数r．设真空中电场的场强为E0，而各向同性均匀介质允满整个电场时，其场强为0rEE，0rEE．点电荷Q在各向同性均匀无限大的电介质中204rQEr平行板电容器充满均匀介质0rE4．电容静电场的能量五、电容静电场的能量⑴1.孤立导体的电容：若孤立导体带有电荷q，其电势为U，则其电容为qCU孤立导体的电容只与导体本身的大小、形状以及周围的介质有关．真空中半径为R的导体球壳的电容为04R⑵电容器的电容：若电容器充有电荷q，两极间的电势差为ΔU，则其电容为qCU电容器的电容仅由其大小、形状以及两极板间的电介质决定；平行板电容器的电容0SCd；球形电容器的电容012214RRCRR；柱形电容器的电容。0212lnlCRR第3页共22页⑶静电场的能量：两个点电荷间的相互作用能为112211221()2WqUqUqUqU，其中U1，U2分别为电荷q1，q2处的电势．n个点电荷组成的点电荷系的相互作用能为112211()22nnnnWqUqUqUqU求和遍于整个带电体，这是带电体所带电形成过程中外力所需做的功，这能量视系统的自能。电容器储存的能量：22QWC，也可写为＝21122WQUCU从上式可看出，能量是与电荷Q联系在一起的，在静电场里就是这样，有电荷才有能量，电场具有能量，电场中单位体积所具有的能量称为电场的能量密度，用e表示，2012eE二、方法演练类型一、用微元法和叠加法处理电场强度的问题。例1．如图9一1所示，把半径为R的球体分为8等份，取其中1份，使之均匀带电，电荷体密度为ρ.试求此18带电球体在球心0处的电场强度的大小．分析和解：这是一道多次用微元法和叠加法求解的题目，1/8均匀带电球体微分成一系列无限薄的1/8均匀带电球面；1/8带电球面的场无法求，考虑一半带电第4页共22页球面在球心产生的一场强；在求半球面产生的场强时再用到微元法，在面上任选一带电面元，并视为点电荷，求其在球心的场强后再叠加，电场强度是矢量，叠加时一定考虑到方向性，某些分量能抵消的，就先抵消掉以求简化．先讨论半径为r，面密度为σ的半球面在球心O的电场强度，由于对称性，均匀带电球面在球心O的场强02E必定沿x轴方向．在半球面取面元ΔS，其上电量为σΔS，其在O点产生的电场强度02E刚好在纸平面内，令02E与x轴夹角为，则020220coscos4xSEEr面元ΔS在yOz面上的投影cosyzSS，02204xyzESr，0202204xyzEESr其中yzS就是半球面在yOz面上的投影2yzSr，0204E02E与半径r大小无关．r越大，半球面上电荷距O点越远，其在O点产生的场强与r2成反比；而r越大，半球面越大，其上所带电荷越多，与r2成正比，故02E与r无关．半球面由四个18球面组成，每个18球面在O点产生的场强01E在x轴上分量相等，其值为02E的14。02010416EEx、y、z三条坐标轴对18球面，地位相当，故18球面在O点产生的场强在x轴、y轴和z轴上的分量应相等，均为016，这样就有2222010101010101033316xyzxxEEEEEE最后，半径为R，电荷体密度为ρ的18球体可看作由一系列很薄的18球面叠加而成，设其中任一球面半径为r，厚度为Δr，r的变化范围从0到R，则面电第5页共22页荷密度σ与体电荷密度ρ有关系：()rr.那18球面在球心的电场强度为010316Er而18球体在球心处场强为001000333161616REErrE0与球半径R成正比．类型二、用对称法处理电势计算的问题。例2．如图9—2所示，一无限大接地导体平板，在平板上方h处有一点电荷q。求空间的电势分布，求导体平板上感应电荷面密度分布．分析和解：空间任一点P的电势是点电荷q和无限大接地导体上感应出来的电荷共同产生的．导体板上电荷分布全板且不均匀，就是用积分法求其在P点的电势也是比较麻烦的。我们用对称法，P点相对平面对称的P点的电势也是上述两带电系统共同产生的．且为零．平面上电荷在P点产生的电势与q在P点产生的电势大小相等而符号相反，这样求出平面上电荷在P点产生的电势，而P与P点第6页共22页相对平面对称，平面上电荷在P点产生的电势与在尸点产生电势相等，从而使问题解决．导体板接地，上表面有感应电荷，设为q，下表面无电荷且下半空间电势为零，设P为P的关于平面的对称点，则P点、P点电势应为q和q所产生电势的和。PqPqPUUU，PqPqPUUU0PqPqPUUU考虑到对称性qPqPUU1122222222()()PqPqPqPqPqPqPqqUUUUUUUKKxyhzxyhz从结果可以看到，对板上部空间，感应电荷的作用与一置于y轴上h点，带电为q的点电荷完全等效，这就是所谓的电像法。再求导体平板上感应电荷面密度分布。在导体表面a点取一小面元ΔS，a点离O点距离为r，感应电荷面密度为。a点紧靠导体板上方的电场强度E的方向与板面垂直向下，大小为4EK。其E应是ΔS面上电荷产生的场强1E和q在a点处场强2E在垂直平板方向上分量的叠加。板上除ΔS面外的其他电荷在a点附近的场强只沿平板切向，与2E在板的切向分量相抵消。12EK方向垂直板面（因求紧靠板的点的场强。此时ΔS可看为无限大平面）。2212222222coscos()()()nqqhEEKKrhrhrh12nEEE322224()qKKKrh第7页共22页32222()qhrh感应电荷面密度随r变化。r变小，距O点近，变大。可以计算出板上所有感应电荷的和为q。类型三、用填补法等效替代处理电场的问题。例3．如图9一3（a）所示，有两个部分重叠的球体，半径分别为R1和R2，两球球心距离12OOd，12dRR，两球重叠部分不带电，不重叠部分均匀带电，电荷体密度分别为和。求两球重叠部分（即不带电部分）中的电场强度分布。分析和解：本题的解题过程中首先用到填补法。因为两球重叠部分本是无电荷，但可认为其间充满电荷密度为的电荷，这样两个球均成为均匀带电球体，而对于均匀带电球体，我们是能熟练求出球内外的场强的。如图9-3(b）所示，在两球重叠部分中任取一点P，画出矢量12OOd，11OPr，22OPr，并假设重叠部分不带电的空间中，同时带有电荷体密度和（与不带电等效）。由此，P点所在位置可以被认为同时在均匀带电和的两个球体内．直接写出P点电场强度的矢量表达式：122201102211()()()44QrQrEPEPEPrrrr第8页共22页其中3143Qr，3243Qr代入得1200()()33dEPrr。类型四、用等效法处理感应电场的问题。例4．如图9一4所示，接地的空心导体球壳内半径为R，在空腔内一直径上的P1和P2处，放置电量分别为q1和q2的点电荷，q1=q2=q，,两点电荷到球心的距离均为a。由静电感应与静电屏蔽可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于－2q。空腔内部的电场是由q1、q2和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的。由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强．但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替[在本题中假想（等效）点电荷应为两个]，只要假想（等效）的点电荷的位置和电量能满足这样的条件，即：设想将整个导体壳去掉，由q1在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷1q与q1共同产生的电场，在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0；由q2在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷2q与q2共同产生的电场，在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0。这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是惟一的．等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷1q、2q和q1、q2来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强。（1）试根据上述条件，确定假想等效电荷1q、2q的位置及电量。（2）求空腔内部任意点A的电势UA。已知A点到球心O的距离为r，OA与1OP的夹角为θ。分析和解：点电荷置于接地导体球壳之内，在球壳内壁会感应出电荷，这时球壳内电势的关键是找到感应电荷的等效电荷即像电荷．（1）如图9一5所示，第9页共22页S为原空腔内表面所在位置，1q的位置应位于1OP的延长线上的某点B1处，2q的位置应位于2OP的延长线上的某点B2处。设A1为S面上的任意一点，根据题意有1111110qqkkAPAB①2212120qqkkAPAB②怎样才能使①式成立呢？下面分析图9一5中△OP1A1与△OA1B1的关系。若等效电荷1q的位置B1使下式成立，即211OPOBR③即1111OPOAOAOB④，则△OP1A1∽△OA1B1，有111111APOPaABOAR⑤由①式和⑤式便可求得等效电荷1q：11Rqqa⑥由③式知，等效电荷1q的位置B1到原球壳中心位置O的距离为21ROBa⑦同理，B2的位置应使△OP2A1∽△OA1B2，用类似的方法可求得等效电荷22Rqqa⑧等效电荷2q的位置B2到原球壳中心O位置的距离为22ROBa⑨(2)A点的位置如图9一6所示。A的电势由q1、1q、q2、2q共同产生，即11221111ARRUkqPAaBAPAaBA（）⑩第10页共22页因2