高考数列专题总结(全精华)

1数列专题复习(全是精华)一、证明等差等比数列1．等差数列的证明方法：（1）定义法：1nnaad(常数)（2）等差中项法：112(2)nnnaaan2．等比数列的证明方法：（1）定义法：1nnaqa(常数)（2）等比中项法：211(2)nnnaaan例1.设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛nSn｝的前n项和，求Tn．解：设等差数列｛an｝的公差为d，则Sn=na1＋21n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75，∴,7510515,721711dada即,57,1311dada解得a1＝－2，d＝1．∴nSn＝a1＋21（n－1）d＝－2＋21（n－1）．∵2111nSnSnn，∴数列｛nSn｝是等差数列，其首项为－2，公差为21，∴Tn＝41n2－49n．例2．设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－（2t+3）Sn－1=3t（t0，n=2，3，4，…）求证：数列{an}是等比数列；解：（1）由a1=S1=1，S2=1+a2，得a2=ttaatt323,32312又3tSn－（2t+3）Sn－1=3t①3tSn－1－（2t+3）Sn－2=3t②①－②得3tan－（2t+3）an－1=0∴ttaann3321，（n=2，3，…）所以{an}是一个首项为1，公比为tt332的等比数列.练习：已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；答案.(2)213nnT,2131nna;2二．通项的求法（1）利用等差等比的通项公式(2)累加法：1()nnaafn例3．已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn所以naan111211a，nnan1231121（3）构造等差或等比1nnapaq或1()nnapafn例4．已知数列na满足*111,21().nnaaanN求数列na的通项公式；解：*121(),nnaanN112(1),nnaa1na是以112a为首项，2为公比的等比数列。12.nna即*21().nnanN例5．已知数列na中，11a,1111()22nnnaa，求na.解：在1111()22nnnaa两边乘以12n得：112(2)1nnnnaa令2nnnba，则11nnbb,解之得：111nbbnn,所以122nnnnbna.练习:已知数列}a{n满足）（2n12a2an1nn，且81a4。（1）求321aaa，，；（2）求数列}a{n的通项公式。解：（1）33a13a5a321，，（2）n1nnn1nn2)1a(21a12a2a1n21a121a21ann1n1nnn∴12)1n(ann3（4）利用1(2)1(1)nnSSnSnna例6．若nS和nT分别表示数列{}na和{}nb的前n项和，对任意正整数2(1)nan，34nnTSn.求数列{}nb的通项公式；解：22(1)4231anadSnnnn23435TSnnnnn……2分当1,35811nTb时当2,6262.1nbTTnbnnnnn时……4分练习：1.已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解:∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－10，∴an－an－1=5(n≥2)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆当a1=3时，a3=13，a15=73新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2．设数列na的前n项的和14122333nnnSa，1,2,3,n（Ⅰ）求首项1a与通项na；（Ⅱ）设2nnnTS，1,2,3,n，证明：132niiT解：（I）21114122333aSa，解得：12a2111144122333nnnnnnnaSSaa11242nnnnaa所以数列2nna是公比为4的等比数列所以：111224nnnaa得：42nnna（其中n为正整数）（II）1114124122242221213333333nnnnnnnnSa112323112221212121nnnnnnnnTS所以：1113113221212niniT4（5）累积法nnanfa)(1转化为)(1nfaann，逐商相乘.例7．已知数列na满足321a，nnanna11，求na。解：由条件知11nnaann，分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即3241231nnaaaaaaaann1433221naan11又321a，nan32练习：1.已知31a，nnanna23131)1(n，求na。解：13(1)13(2)1321313(1)23(2)232232nnnaann3437526331348531nnnnn。2．已知数列{an}，满足a1=1，1321)1(32nnanaaaa(n≥2)，则{an}的通项1___na12nn解：由已知，得nnnnaanaaaa13211)1(32，用此式减去已知式，得当2n时，nnnnaaa1，即nnana)1(1，又112aa，naaaaaaaaann13423121,,4,3,1,1，将以上n个式子相乘，得2!nan)2(n（6）倒数变形：1nnnaapaq,两边取倒数后换元转化为qpaann1。例8：已知数列｛an｝满足：1,13111aaaannn，求数列｛an｝的通项公式。解：取倒数：11113131nnnnaaaana1是等差数列，3)1(111naan3)1(1n231nan练习：已知数列｛an｝满足：a1＝32，且an＝n1n13nan2nN2an1－－（，）＋－求数列｛an｝的通项公式；5解：将条件变为：1－nna＝n11n113a－－（－），因此｛1－nna｝为一个等比数列，其首项为1－11a＝13，公比13，从而1－nna＝n13，据此得an＝nnn331－（n1）三．数列求和1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、错位相减法求和{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.1122nnnSababab例9．求和：132)12(7531nnxnxxxS解：由题可知，设132)12(7531nnxnxxxS………………………①nnxnxxxxxS)12(7531432…②（设制错位）①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1。∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn练习：求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.解：由题可知，{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设nnnS2226242232…………………………………①14322226242221nnnS…………②①－②得1432222222222222)211(nnnnS1122212nnn∴1224nnnS4、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa.65、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例10．求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…解：设)231()71()41()11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12naaaSnn（分组）当a＝1时，2)13(nnnSn＝2)13(nn（分组求和）当1a时，2)13(1111nnaaSnn＝2)13(11nnaaan6、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）（1）na为等差数列，111111nnnnaaaad（2）nnnnan111例11．求数列