高考数学一轮总复习 第51讲 空间距离及计算、展开与折叠问题 课件 文 新课标

1．了解点到平面的距离，会求点到平面的距离．2．会将棱柱、棱锥展开成平面图形，并能处理棱柱、棱锥表面上两点之间的最短距离等有关问题．3．掌握平面图形折叠的特点，弄清平面图形与折叠后空间图形元素间发生变化的对应关系，会处理有关折叠问题．一、空间距离1．两点间的距离：连接两点的①__________的长度．2．点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线，②__________________的长度．3．点到平面的距离：自点向平面引垂线，③____________的长度．4．求距离的基本步骤是：(ⅰ)找出或作出有关距离的图形；(ⅱ)证明它符合定义；(ⅲ)在平面图形内计算．二、折叠问题1．概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题．2．折叠问题分析求解原则：(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系④______________.三、展开问题将空间图形按一定要求展开就成为平面问题，当涉及几何体表面上两点间的距离问题时，通常需要将空间图形展开转化为平面问题进行研究．【要点指南】①线段；②点到垂足之间线段；③点到垂足间线段；④保持不变1.关于折叠问题，下列说法正确的是(A)①翻折前后同在一个平面内的几何元素的位置关系不变；②翻折前后同在一个平面内的几何图形的度量结果不变；③翻折前后不同在一个平面内的几何元素的位置关系可能变化；④翻折前后不同在一个平面内的几何元素的位置关系肯定变化．A．①②③B．①②④C．①②③④D．②③④2.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，从顶点A经过正方体表面到顶点C1的最短距离是()A．22aB.5aC．(2＋1)aD.3a【解析】利用立体几何的侧面展开图，将空间问题转化为平面问题：以为BB1为轴，将平面ABA1B1折到与BCB1C1共面的A′BA′1B1位置．如图A′C1的长即为所求最短距离，计算得A′C1＝5a.所以选B.3.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为()A.34B.32C.334D.3【解析】取BC的中点M，连接AM、A1M，可证平面A1AM⊥平面A1BC.作AH⊥A1M，垂足为H，则AH⊥平面A1BC.在Rt△A1AM中，AA1＝1，AM＝3，A1M＝2，故AH＝32.4.如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为60°.5.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于90°.【解析】折叠后图形如图所示：易知∠AEB＝45°，∠ABE＝90°，所以AB＝BE.取AE的中点Q，连接MQ、BQ，因为MQ∥DE，MQ＝12DE，DE∥BC，DE＝BC，N是BC的中点所以MQ＝BN，MQ∥BN，所以BQ∥MN.因为BQ⊥AE，所以MN⊥AE，即M、N连线与AE成90°角．一点到平面的距离【例1】如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FB＝5a.(1)证明：EB⊥FD；(2)求点B到平面FED的距离．【解析】(1)证明：因为点E为弧AC的中点所以∠ABE＝π2，即BE⊥AC.又因为FC⊥平面BED，BE⊂平面BED，所以FC⊥BE，又因为FC、AC⊂平面FBD，FC∩AC＝C，所以BE⊥平面FBD，因为FD⊂平面FBD，所以EB⊥FD.(2)FC＝BF2－BC2＝5a2－a2＝2a，S△EBD＝12BE·BD＝12a·2a＝a2，在Rt△FBE中，FE＝BE2＋BF2＝6a，取EF的中点H，连接DH，由于FD＝ED＝5a，所以S△FDE＝12FE·DH＝12×6a×5a2－6a22＝212a2，由等体积法可知：13S△EBD·FC＝13S△FDE·h，即a2·2a＝212a2·h⇒h＝42121a.即点B到平面FED的距离为42121a.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝π2，AB＝BC＝13AD＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝a，点F在AD上，且CF⊥PC.(1)求点A到平面PCF的距离；(2)求AD与平面PBC间的距离．素材1【分析】(1)通过论证平面PAC⊥平面PCF，找到点A在平面PCF上的射影H位于PC上，然后解三角形求AH的长．(2)由于AD∥平面PBC，可考虑依据问题情境在AD上选择具备特殊位置的点A，然后推理过A点的平面PAD⊥平面PBC，找到过点A的垂线．【解析】(1)连接AC.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CF.又CF⊥PC，PA∩PC＝P，所以CF⊥平面PAC，所以平面PFC⊥平面PAC.过点A作AH⊥PC于H，所以AH⊥平面PCF，即AH为点A到平面PCF的距离．由已知AB＝BC＝a，所以AC＝2a，PC＝3a.在Rt△PAC中，得AH＝63a.(2)因为BC∥AD，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC.过A作AE⊥PB于E，因为PA⊥BC，∠ABC＝π2，即AB⊥BC，又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以AE⊥BC，又PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，所以AE的长度即为所求的距离．在等腰直角三角形PAB中，PA＝AB＝a，所以AE＝22a.二图形的展开问题【例2】如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BC＝2，BB1＝2，∠ABC＝90°，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为__________．【分析】分类讨论，①若把面ABB1A1和面B1C1CB展开在同一个平面内，构造直角三角形，由勾股定理得EF的长度．②若把面ABB1A1和面A1B1C1展开在同一个平面内，构造直角三角形，由勾股定理得EF的长度．③若把面ACC1A1和面A1B1C1展开在同一个面内，构造直角三角形，由勾股定理得EF的长度．以上求出的EF的长度的最小值即为所求．【解析】直三棱柱底面为等腰直角三角形，①若把面ABB1A1和面B1C1CB展开在同一个平面内，线段EF就在直角三角形A1EF中，由勾股定理得EF＝A1E2＋A1F2＝1＋3222＝222.②若把面ABB1A1和面A1B1C1展开在同一个平面内，设BB1的中点为G，则线段EF就在直角三角形EFG中，由勾股定理得EF＝EG2＋GF2＝2＋1＋222＝14＋422.③若把面ACC1A1和面A1B1C1展开在同一个面内，过F作与CC1平行的直线，过E作与AC平行的直线，所作的两线交于点H，则EF就在直角三角形EFH中，由勾股定理得EF＝EH2＋FH2＝34×22＋12＋12＝322，综上，从E到F两点的最短路径的长度为322.【点评】图形的展开问题通常情况下是将空间问题转化到平面问题来处理，本题中没有确说明是怎样展开的，故需要分类讨论．如图所示，在单位正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P，使得AP＋D1P最短，则AP＋D1P的最小值为()A．2B.2＋62C．2＋2D.2＋2素材2【解析】如图，将△A1AB所在平面翻折到平面A1A′B，使得平面A1A′B与平面A1BCD1重合．在△A′PD1中，因为PA＋PD1＝PA′＋PD1≥A′D1，所以A′D1为AP＋D1P的最小值．而A′D21＝A1D21＋A1A′2－2·A1D1·A1A′·cos∠A′A1D1，故A′D21＝12＋12－2×1×1×cos135°＝2＋2.所以A′D1＝2＋2.三图形的折叠问题【例3】(2011·陕西卷)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)设BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积．【分析】(1)确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；(2)充分利用垂直所得的直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算．【解析】(1)因为折起前AD是BC边上的高，所以当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC，又因为AD⊂平面ADB.所以平面ABD⊥平面BDC.(2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，因为DB＝DA＝DC＝1，所以AB＝BC＝CA＝2，S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝12×1×1＝12，S△ABC＝12×2×2×sin60°＝32.所以三棱锥D—ABC的表面积是S＝12×3＋32＝3＋32.【点评】处理图形的折叠问题的关键是要抓住平面图形在折叠的过程中“变”与“不变”的关系．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，EF∥BC，且AE＝2EB，G为BC的中点，K为△ADF的外心，沿EF将矩形折成一个120°的二面角A－EF－B，求此时KG的长．素材3【解析】K为Rt△ADF的外心，所以K为AF的中点，取EF的中点为H，连接KH、HG、KG，则KH⊥EF，HG⊥EF，所以∠KHG为二面角A－EF－B的平面角，即∠KHG＝120°.又KH＝12AE＝1，HG＝1，所以KG＝1＋1－2×1×1×cos120°＝3，所以KG的长为3.备选例题如图所示，等腰△ABC的底边AB＝66，高CD＝3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE＝x，V(x)表示四棱锥P－ACFE的体积．(1)求V(x)的表达式；(2)当x为何值时，V(x)取得最大值？(3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．【解析】(1)因为EF⊥AB，所以EF⊥PE.又因为PE⊥AE，EF∩AE＝E，所以PE⊥平面ACFE.因为EF⊥AB，CD⊥AB，且CD，EF共面，所以EF∥CD，所以EFCD＝xBD⇒EF＝CDBDx＝x6.所以四边形ACFE的面积S四边形ACFE＝S△ABC－S△BEF＝12×66×3－12×16x2＝96－126x2.所以四棱锥P－ACFE的体积VP－ACFE＝13S四边形ACFE·PE＝36x－166x3.即V(x)＝36x－166x3(0x36)．(2)由(1)知V′(x)＝36－126x2.令V′(x)＝0⇒x＝6.因为当0x6时，V′(x)0，当6x36时，V′(x)0.所以当BE＝x＝6时，V(x)有最大值，最大值为V(6)＝126.(3)过点F作FG∥AC，交AE于点G，连接PG，则∠PFG为异面直线AC与PF所成的角，因为△ABC是等腰三角形，所以△GBF也是等腰三角形．于是FG＝BF＝PF＝BE2＋EF2＝42，从而PG＝PE2＋GE2＝BE2＋BE2＝62.在△GPF中，根据余弦定理得cos∠PFG＝PF2＋FG2－PG22PF·FG＝17.故异面直线AC与PF所成角的余弦值为17.1．对于空间中的距离，我们主要研究点到平面的距离、直线和平面的距离及两个平行平面之间的距离，其重点是点到直线、点到平面的距离．点到平面的距离要注意其作法，一般要利用面面垂直的性质来做．求点到平面的距离也可以用等体积法．2．求距离传统的方法和步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出表示距离的线段，再证明它是所求的距离，然后再计算．其中第二步证明易被忽略，应当引起重视．3．在求距离时，要注意各种距离的转化；在选择求距离的方法时，也要灵活．一般来说，空间关系在不太复杂的情况下使用传统方法，而在距离不好作、空间关系较复杂的条件下可用等积法．4．将平面图形折叠，使形成立体图形，通过对折叠问题的研究进一步树立空间概念，提高空间想象能力．5．平面图形折