高考数学专题复习――导数

2016年高考数学专题复习——导数目录一、有关切线的相关问题二、导数单调性、极值、最值的直接应用三、交点与根的分布1、判断零点个数2、已知零点个数求解参数范围四、不等式证明1、作差证明不等式2、变形构造函数证明不等式3、替换构造不等式证明不等式五、不等式恒成立求参数范围1、恒成立之最值的直接应用2、恒成立之分离常数3、恒成立之讨论参数范围六、函数与导数性质的综合运用导数运用中常见结论(1)曲线()yfx在0xx处的切线的斜率等于0()fx，且切线方程为000()()()yfxxxfx。(2)若可导函数()yfx在0xx处取得极值，则0()0fx。反之，不成立。(3)对于可导函数()fx，不等式()fx00（）的解集决定函数()fx的递增（减）区间。(4)函数()fx在区间I上递增（减）的充要条件是：xI()fx0(0)恒成立（()fx不恒为0）.(5)函数()fx（非常量函数）在区间I上不单调等价于()fx在区间I上有极值，则可等价转化为方程()0fx在区间I上有实根且为非二重根。（若()fx为二次函数且I=R，则有0）。(6)()fx在区间I上无极值等价于()fx在区间在上是单调函数，进而得到()fx0或()fx0在I上恒成立(7)若xI，()fx0恒成立，则min()fx0;若xI，()fx0恒成立，则max()fx0(8)若0xI，使得0()fx0，则max()fx0；若0xI，使得0()fx0，则min()fx0.(9)设()fx与()gx的定义域的交集为D，若xD()()fxgx恒成立，则有min()()0fxgx.(10)若对11xI、22xI，12()()fxgx恒成立，则minmax()()fxgx.若对11xI，22xI，使得12()()fxgx,则minmin()()fxgx.若对11xI，22xI，使得12()()fxgx，则maxmax()()fxgx.（11）已知()fx在区间1I上的值域为A,，()gx在区间2I上值域为B，若对11xI,22xI，使得1()fx=2()gx成立，则AB。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0fx有两个不等实根12xx、，且极大值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式:①ln1(0)xxx②≤ln+1(1)xxx（）③1xex④1xex⑤ln1(1)12xxxx⑥22ln11(0)22xxxx⑦sinxx(0xπ)⑧lnxxxe(x0)一、有关切线的相关问题1x+例题、【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）=31,()ln4xaxgxx.(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线()yfx的切线；【答案】（Ⅰ）34a跟踪练习：1、【2011高考新课标1，理21】已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy。（Ⅰ）求a、b的值；解：（Ⅰ）221(ln)'()(1)xxbxfxxx由于直线230xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2ff即1,1,22bab解得1a，1b。2、(2013课标全国Ⅰ，理21)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.3、(2014课标全国Ⅰ，理21)设函数1(0lnxxbefxaexx，曲线()yfx在点（1，(1)f处的切线为(1)2yex.(Ⅰ)求,ab；【解析】：(Ⅰ)函数()fx的定义域为0,，112()lnxxxxabbfxaexeeexxx由题意可得(1)2,(1)ffe，故1,2ab……………6分二、导数单调性、极值、最值的直接应用（一）单调性1、根据导数极值点的相对大小进行讨论例题：【2015高考江苏，19】已知函数),()(23Rbabaxxxf.（1）试讨论)(xf的单调性；【答案】（1）当0a时，fx在,上单调递增；当0a时，fx在2,3a，0,上单调递增，在2,03a上单调递减；当0a时，fx在,0，2,3a上单调递增，在20,3a上单调递减．当0a时，2,0,3ax时，0fx，20,3ax时，0fx，所以函数fx在,0，2,3a上单调递增，在20,3a上单调递减．练习：1、已知函数1()ln1afxxaxx()aR.⑴当12a≤时，讨论()fx的单调性；答案：⑴1()ln1(0)afxxaxxx，222l11()(0)aaxxafxaxxxx令2()1(0)hxaxxax①当0a时，()1(0)hxxx，当(0,1),()0,()0xhxfx,函数()fx单调递减；当(1,),()0,()0xhxfx，函数()fx单调递增.②当0a时，由()0fx，即210axxa，解得1211,1xxa.当12a时12xx，()0hx恒成立，此时()0fx，函数()fx单调递减；当102a时，1110a,(0,1)x时()0,()0hxfx，函数()fx单调递减；1(1,1)xa时，()0,()0hxfx，函数()fx单调递增；1(1,)xa时，()0,()0hxfx，函数()fx单调递减.当0a时110a，当(0,1),()0,()0xhxfx,函数()fx单调递减；当(1,),()0,()0xhxfx，函数()fx单调递增.综上所述：当0a时，函数()fx在(0,1)单调递减，(1,)单调递增；当12a时12xx,()0hx恒成立,此时()0fx，函数()fx在(0,)单调递减；当102a时,函数()fx在(0,1)递减,1(1,1)a递增,1(1,)a递减.2、已知a为实数，函数()(1)exfxax，函数1()1gxax，令函数()()()Fxfxgx．当0a时，求函数()Fx的单调区间．解：函数1()e1xaxFxax，定义域为1xxa．当0a时，222222221()21()ee(1)(1)xxaaxaxaaFxaxax．令()0Fx，得2221axa．……………………………………9分①当210a，即12a时，()0Fx．∴当12a时，函数()Fx的单调减区间为1(,)a，1(,)a．………………11分②当102a时，解2221axa得122121,aaxxaa．∵121aaa，∴令()0Fx，得1(,)xa，11(,)xxa，2(,)xx；令()0Fx，得12(,)xxx．……………………………13分∴当102a时，函数()Fx的单调减区间为1(,)a，121(,)aaa，21(,)aa；函数()Fx单调增区间为2121(,)aaaa．…………15分③当210a，即12a时，由（2）知，函数()Fx的单调减区间为(,2)及(2,)2、根据判别式进行讨论例题：【2015高考四川，理21】已知函数22()2()ln22fxxaxxaxaa，其中0a.（1）设()gx是()fx的导函数，评论()gx的单调性；【答案】（1）当104a时，()gx在区间114114(0,),(,)22aa上单调递增，在区间114114(,)22aa上单调递减；当14a时，()gx在区间(0,)上单调递增.【解析】（1）由已知，函数()fx的定义域为(0,)，()()222ln2(1)agxfxxaxx，所以222112()2()2224()2xaagxxxx.当104a时，()gx在区间114114(0,),(,)22aa上单调递增，在区间114114(,)22aa上单调递减；当14a时，()gx在区间(0,)上单调递增.练习：已知函数()lnafxxxx，aR．（1）求函数()fx的单调区间；解：函数()fx的定义域为(0,)．2221()1axxafxxxx．令()0fx，得20xxa，记14a．（ⅰ）当14a≤时，()0fx≤，所以()fx单调减区间为(0,)；…………5分（ⅱ）当14a时，由()0fx得12114114,22aaxx，①若104a，则120xx，由()0fx，得20xx，1xx；由()0fx，得21xxx．所以，()fx的单调减区间为114(0,)2a，114(,)2a，单调增区间为114114(,)22aa；…………………………………………………………7分②若0a，由（1）知()fx单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)；③若0a，则120xx，由()0fx，得1xx；由()0fx，得10xx．()fx的单调减区间为114(,)2a，单调增区间为114(0,)2a．……9分综上所述：当14a≤时，()fx的单调减区间为(0,)；当104a时，()fx的单调减区间为114(0,)2a，114(,)2a，单调增区间为114114(,)22aa；当0a≥时，()fx单调减区间为114(,)2a，单调增区间为114(0,)2a．………………………………………………………10分2.已知函数1()()2ln()fxaxxaxR．求函数()fx的单调区间；解：函数的定义域为0,，222122()(1)axxafxaxxx．……………1分（1）当0a时，2()20hxaxxa在(0,)上恒成立，则()0fx在(0,)上恒成立，此时()fx在(0,)上单调递减．……………4分（2）当0a时，244a，（ⅰ）若01a，由()0fx，即()0hx，得211axa或211axa；………………5分由()0fx，即()0hx，得221111aaxaa．………………………6分所以函数()fx的单调递增区间为211(0,)aa和211(,)aa，单调递减区间为221111(,)aaaa．……………………………………7分（ⅱ）若1a，()0hx在(0,)上恒成立，则()0fx在(0,)上恒成立，此时()fx在(0,)上单调递增．……………………………………………………………3、含绝对值的函数单调性讨论例题：已知函数()lnfxxxax.（1）若a=1，求函数()fx在区间[1,]e的最大值;（2）求函数()fx的单调区间；（3）若()0fx恒成立，求a的取值范围解：（1）若a=1,则()1lnfxxxx