直线与圆锥曲线位置关系经典总结1

直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与椭圆的位置关系:设直线与椭圆方程分别为:y=kx+m与:12222byax联立方程组y=kx+mb2x2+a2y2=a2b2消去y得:Ax2+Bx+C=0(1)△0相交(2)△=0相切(3)△0相离2.直线与双曲线的位置关系:设直线与双曲线方程分别为:y=kx+m与:12222byax(1)若直线与渐近线平行,则相交且只有一个交点.(2)若直线与渐近线重合,则相离即没有交点.(3)若直线与渐近线相交,消去y得:Ax2+Bx+C=0联立方程组y=kx+mb2x2-a2y2=a2b2故①△0相交②△=0相切③△0相离3.直线与抛物线的位置关系:设直线与抛物线方程分别为:y=kx+m与y2=2px:(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点.(2)若直线与对称轴相交,得:Ax2+Bx+C=0y=kx+my2=2px由故①△0相交②△=0相切③△0相离直线与抛物线或双曲线有一个公共点就是直线与抛物线或双曲线相切吗？判断直线与曲线位置关系的操作程序把直线方程代入曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐近线或抛物线的对称轴平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离知识点一:圆锥曲线中的弦长问题例1斜率为1的直线经过y2=4x的焦点,与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的长.解:y=x-1y2=4x由知x2-6x+1=0121261xxxx＋，221212222121212221212||()()()()1||1()42428ABxxyyxxkxbkxbkxxkxxxx设A和B的横坐标分别为x1和x2则|AF|=x1+1,|BF|=x2+1∴|AB|=x1+x2+21222(,),(,)AxyBxy方法2：设由条件知直线AB的方程为y=x-1212122111ABkxxyyk(1)过点A(1,2)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有___条;2(2)过点B(0,2)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有___条;3(3)过点C(2,0)且与双曲线只有一个公共点的直线有___条;1422yx3(4)过点D(-1,2)且与双曲线只有一个公共点的直线有___条.1422yx4例2：【知识点二:直线与圆锥曲线交点个数问题】知识点三:利用直线与圆锥曲线位置关系求字母的取值或取值范围；例3.（1）过点(-1,0)的直线l与抛物线y2=6x有公共点,则直]26,26[线l的斜率的范围是___________.(2)过原点与双曲线交于两点的直线13422yx斜率的取值范围是__________________.),23()23,((3).若直线L:y=ax+1与双曲线:3x2-y2=1的左、右两支各有一个公共点,则实数a的取值范围是.)3,3(“画图”是解题的首要环节.(4).直线L:y=kx+1与椭圆C:1522myx恒有公共点,则实数m的取值范围是()(A)(0,1)(B)[1,+)(C)(5,+)(D)[1,5)),5(D知识点四:有关弦中点的问题(求中点弦所在直线方程和弦的中点轨迹方程)【例4】已知椭圆,求以点P(2,1)为中点的弦所在的直线方程.191622yx点评:本题属于中点弦问题,一般采用韦达定理和点差法求解.对于椭圆设则:)0(12222babyax),),(2211yxNyxM（、）（21)1(1222222221221byaxbyax0212222122221byyaxx）得）－（（)3(2221212121abxxyyxxyy0022,21212121－－＝中中中中xyxyxxyyxxyykMN设椭圆的中心为O,MN的中点为P,则2121xxyykop即(3)可表示为22abkkopMN例5、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线交于A、B，求AB中点的轨迹方程..FxOyQABM解：1122(,),(),(,)AxyBxyABMxy设中点22212122xyxy由)(221212121xxyyxxyy相减得：1ABky12ABykx又112yyx220yyx即212(,)(2,0)20xxxyyyx当=2时，为满足02:2xyyM轨迹方程为中点知识点五:圆锥曲线上的点到直线的距离的最值。例6.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。xoyFABMCND解：),(),(),,(2211yxMAByxByxA中点设,2BCADMN,412yypMNBFBCAFAD,)41(2yBFAF2,ABBFAFABF中43,2)41(2yy即)41(2yBCAD知识点六:圆锥曲线上的点对称问题；例7、若抛物线2yx存在关于直线:1(1)lykx对称的两点,求实数k的取值范围.分析：假设存在关于直线:1(1)lykx对称的两点A、B,看k应满足什么条件.显然0k不合题意,∴0k∴直线AB的方程为1yxbk继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.答案:20k归纳与小结1．直线与圆锥曲线位置关系问题及弦长问题的处理思路和方法。2．数学思想：数形结合、点差法,判别式法,韦达定理，分类讨论等。，设而不求,联立方程组,韦达定理这是研究直线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方法.直线与圆锥曲线位置问题的有关知识点:知识点一:直线与圆锥曲线交点个数问题；知识点二:有关曲线的弦长问题；知识点三:有关弦中点问题(求中点弦所在直线方程和弦的中点轨迹方程)；知识点四:利用直线与圆锥曲线的位置关系求字母的取值或取值范围；知识点五:圆锥曲线上的点对称问题；知识点六:圆锥曲线上的点到直线的距离的最值。