直线与圆锥曲线课件理

9.8直线与圆锥曲线1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ0⇔直线与圆锥曲线；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线；③Δ0⇔直线与圆锥曲线.知识梳理相交相切相离(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点.①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是.2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则______________平行平行或重合1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交.(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.4.常用结论(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线.由y＝2x＋m，①x24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.当Δ0，即－3m3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.22题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1(2016·无锡模拟)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；当Δ＝0，即m＝时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.±32(3)没有公共点.当Δ0，即m或m时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.－3232(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.思维升华题型二弦长问题例2(2016·全国甲卷)已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当AM＝AN时，求△AMN的面积.x24＋y23＝1设M(x1，y1)，则由题意知y10，由AM＝AN及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为π4.又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2.将x＝y－2代入x24＋y23＝1，得7y2－12y＝0，解得y＝0或y＝127，所以y1＝127.因此△AMN的面积S△AMN＝2×12×127×127＝14449.(2)当2AM＝AN时，证明：3k2.设直线AM的方程为y＝k(x＋2)(k0)，代入x24＋y23＝1，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，由x1·(－2)＝16k2－123＋4k2，得x1＝23－4k23＋4k2，故AM＝|x1＋2|1＋k2＝121＋k23＋4k2.由题设，直线AN的方程为y＝－1k(x＋2)，故同理可得AN＝12k1＋k23k2＋4.由2AM＝AN，得23＋4k2＝k3k2＋4，即4k3－6k2＋3k－8＝0，设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点，f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增，又f(3)＝153－260，f(2)＝60，因此f(t)在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k在(3，2)内，所以3k2.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.思维升华跟踪训练(2016·徐州模拟)设椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为232，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是4＋23.(1)求椭圆C1的方程；由e＝32，知ca＝32，所以c＝32a，因为△PF1F2的周长是4＋23，所以2a＋2c＝4＋23，所以a＝2，c＝3，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C1的方程为x24＋y2＝1.(2)设椭圆C1的左，右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E(点D与点A，B不重合)，若C点满足AB→⊥BC→，AD→∥OC→，连结AC交DE于点P，求证：PD＝PE.由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，设D(x0，y0)，所以E(x0，0)，因为AB→⊥BC→，所以可设C(2，y1)，所以AD→＝(x0＋2，y0)，OC→＝(2，y1)，由AD→∥OC→可得(x0＋2)y1＝2y0，即y1＝2y0x0＋2.所以直线AC的方程为y2y0x0＋2＝x＋24，整理得y＝y02x0＋2(x＋2).又点P在DE上，将x＝x0代入直线AC的方程可得y＝y02，即点P的坐标为(x0，y02)，所以P为DE的中点，所以PD＝PE.题型三中点弦问题命题点1利用中点弦确定直线或曲线方程例3(1)已知椭圆E：(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为___________.x2a2＋y2b2＝1x218＋y29＝1因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝12(x－3)，代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1消去y，得a24＋b2x2－32a2x＋94a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为32a22a24＋b2＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝32.所以E的方程为x218＋y29＝1.(2)已知(4,2)是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则l的方程是_____________.x236＋y29＝1x＋2y－8＝0设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2136＋y219＝1，且x2236＋y229＝1，两式相减得y1－y2x1－x2＝－x1＋x24y1＋y2.所以y1－y2x1－x2＝－12，故直线l的方程为y－2＝－12(x－4)，又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，即x＋2y－8＝0.命题点2由中点弦解决对称问题例4(2015·浙江)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称.x2212(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－1mx＋b.由x22＋y2＝1，y＝－1mx＋b，消去y，得12＋1m2x2－2bmx＋b2－1＝0.因为直线y＝－1mx＋b与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋4m2＞0，①将AB中点M2mbm2＋2，m2bm2＋2代入直线方程y＝mx＋12，解得b＝－m2＋22m2.②由①②得m＜－63或m＞63.(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).令t＝1m∈－62，0∪0，62，则AB＝t2＋1·－2t4＋2t2＋32t2＋12，且O到直线AB的距离为d＝t2＋12t2＋1.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝12·AB·d＝12－2t2－122＋2≤22，当且仅当t2＝12时，等号成立.故△AOB面积的最大值为22.(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用.思维升华y1－y2x1－x2跟踪训练3设抛物线过定点A(－1,0)，且以直线x＝1为准线.(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点F(2x－1，y).再根据抛物线的定义得AF＝2，即(2x)2＋y2＝4，所以轨迹C的方程为x2＋y24＝1.(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，试求m的取值范围.12设弦MN的中点为P－12，y0，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，可知4x2M＋y2M＝4，4x2N＋y2N＝4.两式相减，得4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0，将xM＋xN＝2×－12＝－1，yM＋yN＝2y0，yM－yNxM－xN＝－1k代入上式，得k＝－y02.又点P－12，y0在弦MN的垂直平分线上，所以y0＝－12k＋m.所以m＝y0＋12k＝34y0.由点P(－12，y0)在线段BB′上(B′，B为直线x＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以yB′y0yB，也即－3y03.所以－334m334，且m≠0.即m的取值范围为(－334，0)∪(0，334).