直线与平面所成角上课.

a一、复习提问1、点在平面上的射影?2、斜线在平面上的射影?AA1B垂足与斜足之间的线段BA1一、定义:我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.αPAB线面角定义：简称：线面角思考：在实际应用或解题中，怎样去求这个角？二、直线与平面所成角aAlOB1.是a的斜线时l2.00la与所成角为090la与所成角为直线与平面所成角斜线与平面所成角注意:0090,00090,0,//时或aall,时al思考：在实际应用或解题中，怎样去求这个角？0090,0练习判断①两平行线和同一平面所成的角相等②一条直线和两个平行平面所成的角相等③一条直线和两个平面所成的角相等，则两平面平行④两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线是平行直线√√××思考1:两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？角相等，反之不成立角相等α思考2:过平面α外一点P引平面α的斜线，斜足为A，若斜线PA与平面α所成的角为50°，那么点A在平面α内的运动轨迹是什么图形？PAOα理论迁移例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B和平面ABCD、平面A1ADD1所成的角；（2）求直线A1B和平面A1B1CD、平面A1ACC1所成的角的正弦值.D1ABA1CB1C1DO找（或求）线面角的步骤)1)确定斜足；2)找(作)线面垂直；3)指出射影，确定线面角；4)在直角三角形求解。aAlOB求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．练习解析：取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝22＋22＋12＝3，于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝EMBE＝23，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为23.1111160PABCDABCDBDPDA点练在正方体的对角线，习：上，所成的角的大小与面求DDAADP11)2(所成的角的大小与求1)1(CCDPAA1DB1CBD1C1PMNOQ∠PDQAA1DB1CBD1C1PMNO.45,452245cos60coscoscoscos;cos;45coscos60coscoscos;,1。。。。。。DPOPDOMDOADPPDODOMDPDMDPDDOPDDOPDODOMDMDOPDMDADPMDPDCPNADPM求直线与平面所成的角时,应注意的问题:(1)先判断直线与平面的位置关系(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：①作出或找出斜线上的点到平面的垂线②作出或找出斜线在平面上的射影③求出斜线段，射影，垂线段的长度④解此直角三角形，求出所成角的相应函数值直线与平面所成的角：范围是[0，π/2]。求直线和平面所成的角的方法是：(1)定义法找点在面上的射影。具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。关键是:找到平面的垂线(2)等体积法用等体积法求出点A到平面的距离h，设AB是平面的一条斜线段，直线和平面所成角为，则aaaABhsin（3）转移法.找到一条与斜线平行的直线活页练确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上③如果点到线段的两端点距离相等,那么射影在线段的垂直平分线上。PBCAPHBCAH若AP=BP=CP,则H为三角形ABC的外心PBCAH若PA,PB,PC两两垂直，则H为三角形ABC的垂心点P到三边AB,AC,BC的距离相等，H为三角形ABC的内心点P在面ABC内的射影为HEFD即：PE=PD=PF确定点的射影位置有以下几种方法：小结：1、斜线与平面所成角的定义：2、直线与平面所成的角θ的取值范围是：3、斜线与平面所成的角θ的取值范围是：例1：如图，三棱锥A－SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．[思路点拨]∠ASB＝∠ASC＝60°SA＝SB＝SC―→SA＝AC＝AB―→取BC中点D―→AD⊥BC―→证AD2＋SD2＝SA2―→AD⊥SD―→AD⊥平面SBC―→∠ASD为所求角―→结论解析：因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此，AB＝AC.取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝2a，CD＝SD＝22a.在Rt△ADC中，AD＝AC2－CD2＝22a，则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此，∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝22a，所以∠ASD＝45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°.问：还有其他解法吗？提示：由△SBC≌△ABC,AD⊥BC可得SD⊥BC练习、如图：等腰Rt△ABC的斜边为BC，两直角边和平面α所成角分别为450和300求斜边上的高AD和平面α所成的角αBCAE450F300DOBPＤCＯ2.,,2,4POCBOPOCBOBOCOBOCPCDPCODPBC例如图，在三棱锥中，平面，为的中点，求与平面所成的角的正弦值。BPＤCＯ2.,,2,4POCBOPOCBOBOCOBOCPCDPCODPBC例如图，在三棱锥中，平面，为的中点，求与平面所成的角的正弦值。变式一：求直线BC与平面PBO所成角。45°变式二、如图:在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC，AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC(1)求证：OD//平面PAB；(2)当时求直线PA与平面PBC所成角的正弦值21kPABCDO21k(2005年高考试题浙江卷)•EF30210正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1与平面ACD1所角的余弦值为()ABCD333236320AA1CDBD1C1B1D练习2变式：BB1与平面ACD1所角的余弦值变式：OD与平面ACD1所角的余弦值如图：OBAＣ不妨设OA为单位长于是21coscoscos,AOAaBOB于a1cos而coscosACAO12aAC2cosAB21coscosAB1cosAO平面内的直线可以是任意的注意：问题1平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,与斜线和平面内的任一条直线所成的角之间有什么关系？设∠OAB=1∠BAC=2∠OAC=思考3:如图，∠BAD为斜线AB与平面α所成的角，AC为平面α内的一条直线，那么∠BAD与∠BAC的大小关系如何？DαCAB∠BAC∠BAD(2)最小角定理（或三余弦公式）DBAC112coscoscs1o、关键是:分清三个角的位置2是射影与面内线所的角2是斜线与面所成的角1角是斜线和面内线所成的斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内的任一直线所成的角中的最小角２、最小角定理1.若直线l1与平面所成的角为60°，则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角为，最大的角为。O60°90°2.若直线l1与平面所成的角为30°，直线l2与l1所成的角为60°,求直线l2与平面所成的角的范围?l2l20°,90°例1、如图，AB为平面α的一条斜线，B为斜足，AO⊥平面α，垂足为O，直线BC在平面α内，已知∠ABC=60°，∠OBC=45°，求斜线AB和平面α所成的角.ABCOαD06021223336练习.PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所ABCDC成角的余弦值是（）PABC变式一:如图，ACB=90，S为平面ABC外一点，SCA=SCB=60，求SC与平面ACB所成的角ABOFE变式二:如图，SA,SB,SC是三条射线，BSC=60,SA上一点P到平面BSC的距离是3,P到SB,SC的距离是5,求SA与平面BSC所成的角SCBOFEPSCBOFEPA直线与平面所成的角：范围是[0，π/2]。求直线和平面所成的角的方法是：一是:(定义法)找点在面上的射影。具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。关键是:找到平面的垂线(2)最小角定理（或三余弦公式）DBAC121coscoscos关键是:分清三个角的位置2是射影与面内线所的角2是斜线与面所成的角1角是斜线和面内线所成的（3）转移法.找到一条与斜线平行的直线(4)等体积法用等体积法求出点A到平面的距离h，设AB是平面的一条斜线段，直线和平面所成角为，则aaaABhsin