直线与抛物线相交

把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三第二课时抛物线方程及几何性质的应用2.3抛物线第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质[例1]已知抛物线的方程为y2＝2x，直线l的方程为y＝kx＋1(k∈R).当k分别为何值时，直线l与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？[思路点拨]联立方程消元→讨论方程解的个数→确定方程组解的个数→判断位置关系[精解详析]联立直线l与抛物线方程得方程组y＝kx＋1，y2＝2x，可得k2x2＋(2k－2)x＋1＝0.①(1)当k＝0时，由方程（*）得x＝12，代入y＝kx＋1得y＝1.这时直线l与抛物线只有一个公共点(12，1)．(2)当k≠0时，方程（*）的判别式为Δ＝4(1－2k)．当Δ＝0，即k＝12时，方程（*）有一个解，从而直线l与抛物线只有一个公共点．当Δ0，且k≠0，即k12且k≠0时，方程（*）有两个解，从而直线l与抛物线有两个公共点．当Δ0且k≠0，即k12时，方程（*）没有实数解，从而直线l与抛物线没有公共点．综上可得：当k＝0或k＝12时，直线l与抛物线只有一个公共点；当k12且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点；当k12时，直线l与抛物线没有公共点．[一点通]设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋c＝0．(1)若a≠0，当Δ0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ0时，直线与抛物线相离，无公共点．(2)若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(3)若直线l与抛物线有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2，或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.1．已知抛物线C：x2＝12y，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：显然t≠0，直线AB的方程为y＝4tx－1，代入抛物线方程得2tx2－4x＋t＝0.由题意Δ＝16－8t20，解得t－2或t2.答案：D2．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A．[－12，12]B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]解析：设直线方程为y＝k(x＋2)，与抛物线方程联立，得y2＝8x，y＝kx＋2，消去x得到关于y的方程ky2－8y＋16k＝0.当k＝0时，上述方程有解，所以直线与抛物线有公共点；当k≠0时，应有Δ≥0，即64－64k2≥0，解得－1≤k≤1且k≠0.综上，l斜率的取值范围是[－1,1]．答案：C[例2]已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.[思路点拨]法一：设P1，P2坐标代入方程→两式作差→求kP1P2得直线P1P2的方程→联立，利用弦长公式求|P1P2|法二：设点斜式方程→两方程联立消元→根与系数关系求k→利用弦长公式求|P1P2|[精解详析]法一：设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．∵P1，P2在抛物线上，∴y21＝6x1，y22＝6x2.两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．∵y1＋y2＝2，∴k＝y1－y2x1－x2＝6y1＋y2＝3，∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.由y2＝6x，y＝3x－11，得y2－2y－22＝0，∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，∴|P1P2|＝1＋19·22－4×－22＝22303.法二：由题意设所求方程为y－1＝k(x－4)．由y2＝6x，y＝kx－4k＋1，得ky2－6y－24k＋6＝0.设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，∴y1＋y2＝6k，y1·y2＝6－24kk.∵P1P2的中点为(4,1)，∴6k＝2，∴k＝3，∴所求直线方程为y－1＝3(x－4).由y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，得|P1P2|＝1＋19·22＋4×22＝22303.[一点通]处理中点问题的基本方法是点差法和联立方程的方法，直线与抛物线方程联立时消y有时更简便些．此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解．一般地，已知抛物线y2＝2px(p0)上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)及AB的中点P(x0，y0)，则kAB＝py0，直线AB的方程为y－y0＝py0(x－x0)，线段AB的垂直平分线的方程为y－y0＝－y0p(x－x0)．解析：由y＝kx－2，y2＝8x，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.由Δ＝(4k＋8)2－16k20，得k－1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k＋8k2＝4，解得k＝2或k＝－1(舍去)．3．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2,则k＝()A．2或－1B．－1C．2D．3答案：C解：设抛物线方程为x2＝ay(a≠0).由x2＝ay，x－2y－1＝0，消去y得2x2－ax＋a＝0.∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a)2－4×2×a0，即a0或a8.4．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1＝0截得的弦长为15，求此抛物线方程．设直线与抛物线两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝a2，x1x2＝a2，y1－y2＝12(x1－x2)，∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝54x1－x22＝54[x1＋x22－4x1x2]＝145a2－8a.∵|AB|＝15，∴145a2－8a＝15，即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，∴所求抛物线方程为x2＝－4y或x2＝12y.[例3]如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.(1)证明直线AB必过一定点；(2)求△AOB面积的最小值．[思路点拨](1)设出OA的方程→得到OB的方程→求出A，B的坐标→写出AB的方程→判断直线AB过定点(2)将△AOB的面积表示成某个变量的函数→求最值[精解详析](1)显然直线OA存在斜率且不等于0.设OA所在直线的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝－1kx，由y＝kx，y2＝2x，解得x＝0，y＝0，或x＝2k2，y＝2k，即A点的坐标为(2k2，2k)．同样由y＝－1kx，y2＝2x，解得B点的坐标为(2k2，－2k)．∴AB所在直线的方程为y＋2k＝2k＋2k2k2－2k2(x－2k2)，化简并整理，得(1k－k)y＝x－2.不论实数k取何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0.故直线过定点P(2,0)．(2)因为AB所在直线过定点P(2,0)，所以可设AB所在直线的方程为x＝my＋2.由x＝my＋2，y2＝2x，消去x并整理得y2－2my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.于是|y1－y2|＝y1－y22＝y1＋y22－4y1y2＝2m2＋16＝2m2＋4.S△AOB＝12×|OP|×(|y1|＋|y2|)＝12|OP|·|y1－y2|＝12×2×2m2＋4＝2m2＋4.∴当m＝0时，△AOB的面积取得最小值4.[一点通](1)圆锥曲线中的定点、定值问题，往往是选择某一参数，用参数表示要研究的问题，通过运算证明与参数无关；也可利用特殊情况寻找定点、定值，然后对一般情况作出证明．(2)解决有关抛物线的最值问题，一种思路是合理转化，数形结合求解；另一种思路是代数法，转化为二次函数求最值．常见的题型有：①曲线上的点到直线的距离的最值问题；②过定点弦长的最值问题；③三角形面积的最值问题．5．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是()A.43B.75C.85D．3解析：法一：设直线4x＋3y＋m＝0与y＝－x2相切，则联立两方程，消去y得3x2－4x－m＝0.令Δ＝0，有m＝－43.两直线间的距离为15|－8－(－43)|＝43.法二：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为15|4m－3m2－8|＝35|(m－23)2＋209|.当m＝23时，取得最小值43.答案：A6．设A，B为抛物线y2＝4x上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M(4,0)，求证：线段AB中点的横坐标为定值．证明：设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).又因为AB不垂直于x轴，故直线MN的斜率为y0x0－4，直线AB的斜率为4－x0y0，直线AB的方程为y－y0＝4－x0y0(x－x0)．联立方程y－y0＝4－x0y0x－x0，y2＝4x，消去x得(1－x04)y2－y0y＋y20＋x0(x0－4)＝0，所以y1＋y2＝4y04－x0.因为N为AB中点，所以y1＋y22＝y0，即2y04－x0＝y0.所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.1．解涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时，要注意利用根与系数的关系，设而不求，能避免求交点坐标的复杂运算．2．在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这类问题的关键是代换和转化．点击下图进入