直线与方程经典例题与课时训练(含答案版)

直线与方程例题1、直线的倾斜角与斜率1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．()(2)一个倾斜角α不能确定一条直线．()(3)斜率公式与两点的顺序无关．()【解析】(1)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．(2)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α.(3)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．【答案】(1)×(2)√(3)√2．斜率不存在的直线一定是()A．过原点的直线B．垂直于x轴的直线C．垂直于y轴的直线D．垂直于过原点的直线【解析】只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．【答案】B3．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于()A．－32B.32C．－1D．1【解析】kAB＝y＋34－2＝tan45°＝1，即y＋32＝1，∴y＝－1.【答案】C4．如图1­1所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．图1­1【解析】设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图可知0α3α290°α1180°，所以tanα2tanα30，tanα10，故k1k3k2.【答案】k1k3k25．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数m的值为________．【解析】∵A、B、C三点在同一直线上，∴kAB＝kBC，∴2－－10－－3＝4－2m－0，∴m＝2.【答案】26．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求y＋1x＋1的取值范围.【解】y＋1x＋1＝y－－1x－－1的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)，设直线NA，NB的斜率分别为kNA，kNB.∵kNA＝53，kNB＝－16，∴－16≤y＋1x＋1≤53.∴y＋1x＋1的取值范围是－16，53.2、直线的方程1．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．【解析】将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a，过定点(3,2)．【答案】(3,2)2．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一定点，则这个定点是()A．(2,3)B．(－2,3)C.1，－12D．(－2,0)【解析】直线化为a(x＋2)－x－y＋1＝0.由x＋2＝0，－x－y＋1＝0，得x＝－2，y＝3，所以直线过定点(－2,3)．【答案】B3．方程y＝ax＋1a表示的直线可能是图中的()【解析】直线y＝ax＋1a的斜率是a，在y轴上的截距1a.当a0时，斜率a0，在y轴上的截距1a0，则直线y＝ax＋1a过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a0时，斜率a0，在y轴上的截距1a0，则直线y＝ax＋1a过第二、三、四象限，仅有选项B符合．【答案】B4．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是()A．3x－y－8＝0B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0D．3x＋y＋2＝0【解析】kAB＝1－3－5－1＝13，AB的中点坐标为(－2,2)，所以所求方程为：y－2＝－3(x＋2)，化简为3x＋y＋4＝0.【答案】B3、直线的交点坐标和距离公式1．已知点A(－1,2)，点B(2,6)，则线段AB的长为__________．【解析】由两点间距离公式得|AB|＝2＋12＋6－22＝5.【答案】52．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________.【解析】|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝|0＋0－4|1＋1＝22.【答案】223．已知x＋y－3＝0，则x－22＋y＋12的最小值为________．【解析】设P(x，y)，A(2，－1)，则点P在直线x＋y－3＝0上，且x－22＋y＋12＝|PA|.|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝|2＋－1－3|12＋12＝2.【答案】24．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1B.2C.3D．2【解析】法一：在l1上取一点(1，－2)，则点到直线l2的距离为|1－2－1|12＋12＝2.法二：d＝|1－－1|12＋12＝2.【答案】B5．点P(－3,4)关于直线4x－y－1＝0对称的点的坐标是________.【解析】设对称点坐标为(a，b)，则b－4a＋3·4＝－1，4×－3＋a2－4＋b2－1＝0，解得a＝5，b＝2，即所求对称点的坐标是(5,2)．【答案】(5,2)直线与方程练习题1．直线x＋3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为()A．30°B．60°C．150°D．120°解析：选C.∵直线的斜率k＝－33，∴tanα＝－33.[来源:Zxxk.Com]又0≤α＜180°，∴α＝150°.2．如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()[来源:Z*xx*k.Com]A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2解析：选D.直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，故选D.3．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析：选D.由题意得a＋2＝a＋2a，∴a＝－2或a＝1.4．过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是()A．x＝2B．y＝1C．x＝1D．y＝2解析：选A.∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为34π.[来源:学.科.网]依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x＝2.5．两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()解析：选A.把直线方程化为截距式l1：xa＋y－b＝1，l2：xb＋y－a＝1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．6．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________.解析：因为kAB＝7－54－3＝2，kAC＝x－5－1－3＝－x－54.A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC即－x－54＝2，解得x＝－3.答案：－37．直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点．则直线l的倾斜角的取值范围为________．解析：直线l的斜率k＝m2－11－2＝1－m2≤1.若l的倾斜角为α，则tanα≤1.答案：0，π4∪π2，π8．已知直线l的倾斜角α满足3sinα＝cosα，且它在x轴上的截距为2，则直线l的方程是________．解析：∵kl＝tanα＝sinαcosα＝13，且过点(2,0)，∴直线方程为y＝13(x－2)[来源:Z_xx_k.Com]即x－3y－2＝0.答案：x－3y－2＝09．直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为()A．－13B．－3C.13D．3解析：选A.设直线l：Ax＋By＋C＝0，由题意，平移后方程为A(x－3)＋B(y＋1)＋C＝0，即Ax＋By＋C＋B－3A＝0，它与直线l重合，∴B－3A＝0，∴－AB＝－13，即直线l的斜率为－13，故选A.10．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．y－1＝3(x－3)B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1)D．y－3＝－3(x－1)解析：选D.因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为：y－3＝－3(x－1)．11．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()A．ab＞0，bc＜0B．ab＞0，bc＞0C．ab＜0，bc＞0D．ab＜0，bc＜0解析：选A.由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－abx－cb.易知－ab＜0且－cb＞0，故ab＞0，bc＜0.12．直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________．解析：当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为－aa＋1，只要－aa＋1＞1或者－aa＋1＜0即可，解得－1＜a＜－12或者a＜－1或者a＞0.[来源:Zxxk.Com]综上可知，实数a的取值范围是－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：－∞，－12∪(0，＋∞)