2013届高考数学一轮复习讲义：8[1].7_立体几何中的向量方法(Ⅱ)_求空间角与距离

主页一轮复习讲义立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角与距离主页1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0n·b＝0.2．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cosθ＝.忆一忆知识要点|cos〈m1，m2〉|要点梳理主页(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝.(3)求二面角的大小1°如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝．忆一忆知识要点|cos〈m，n〉|cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉〈AB→，CD→〉要点梳理主页3．点面距的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝.忆一忆知识要点nnAB要点梳理主页[难点正本疑点清源]1．空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来计算的，对空间各种角概念必须深刻理解．平行和垂直可以看作是空间角的特殊情况．2．向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．3．求点到平面距离的方法：①垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②等体积法，转化为求三棱锥的高；③等价转移法；④法向量法．主页例1如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝BF＝1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值．求异面直线所成的角(1)本题易于建立空间直角坐标系，把EC1与FD1所成角看作向量EC1→与FD1→的夹角，用向量法求解．(2)平移线段C1E让C1与D1重合，转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解．主页解方法一以A为原点，AB→、AD→、AA1→分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是EC1→＝(1,3,2)，FD1→＝(－4,2,2)，设EC1与FD1所成的角为β，则：cosβ＝|EC1→·FD1→||EC1→|·|FD1→|＝1×(－4)＋3×2＋2×212＋32＋22×(－4)2＋22＋22＝2114，∴直线EC1与FD1所成的角的余弦值为2114.主页方法二延长BA至点E1，使AE1＝1，连结E1F、DE1、D1E1、DF，有D1C1∥E1E，D1C1＝E1E，则四边形D1E1EC1是平行四边形．则E1D1∥EC1.于是∠E1D1F(或补角)为直线EC1与FD1所成的角．在Rt△BE1F中，E1F＝E1B2＋BF2＝52＋12＝26.在Rt△D1DE1中，D1E1＝DE21＋DD21＝AE21＋AD2＋DD21＝12＋32＋22＝14.主页在Rt△D1DF中，FD1＝FD2＋DD21＝CF2＋CD2＋DD21＝22＋42＋22＝24.在△E1FD1中，由余弦定理得：cos∠E1D1F＝D1E21＋FD21－E1F22×D1E1×FD1＝2114.∴直线EC1与FD1所成的角的余弦值为2114.主页可以从两个不同角度求异面直线所成的角：一把角的求解转化为向量运算；二体现传统方法，作—证—算．应注意体会两种方法的特点．“转化”是求异面直线所成角的关键．平移线段法，或化为向量的夹角．一般地，异面直线AC、BD的夹角β的余弦为cosβ＝|AC→·BD→||AC→||BD→|.探究提高主页如图，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝π4.OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．变式训练1(1)证明：直线MN∥平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小．主页(1)证明作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系．A(0,0,0)，B(1,0,0)，P0，22，0，D－22，22，0，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N1－24，24，0.(1)MN→＝1－24，24，－1，OP→＝0，22，－2，OD→＝－22，22，－2.主页设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·OP→＝0，n·OD→＝0.即22y－2z＝0，－22x＋22y－2z＝0.取z＝2，解得n＝(0,4，2)．∵MN→·n＝1－24，24，－1·(0,4，2)＝0，∴MN∥平面OCD.主页(2)解设AB与MD所成角为θ，∵AB→＝(1,0,0)，MD→＝－22，22，－1，∴cosθ＝|AB→·MD→||AB→|·|MD→|＝12，θ∈0，π2，∴θ＝π3.∴直线AB与MD所成的角为π3.主页例2如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1、A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.求A1B与平面ABD所成角的正弦值．求直线与平面所成的角建立空间直角坐标系，求出各点及向量的坐标，求出A1B→与EG→夹角的余弦值的绝对值即可．主页解如图所示，建立空间直角坐标系，坐标原点为C，设CA＝2a，则A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，D(0,0,1)，A1(2a,0,2)，E(a，a,1)，G2a3，2a3，13，EG→＝－a3，－a3，－23，BD→＝(0，－2a,1)，EG→·BD→＝23a2－23＝0，∴a＝1，EG→＝－13，－13，－23，A1B→＝(－2,2，－2)．主页∵EG→为平面ABD的一个法向量，且cos〈A1B→，EG→〉＝A1B→·EG→|A1B→||EG→|＝23，∴A1B与平面ABD所成角的正弦值是23.平面的法向量，有时需要求出，有时题目本身就有，要准确理解题意，把法向量找出来．如本题中由于E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则EG⊥平面ABD，EG→即为平面ABD的法向量．探究提高主页如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝4，AA1＝7，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E.(1)证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．变式训练2(1)证明由正三棱柱ABC—A1B1C1的性质知，AA1⊥平面ABC.又DE⊂平面ABC，所以DE⊥AA1.又DE⊥A1E，AA1∩A1E＝A1，所以DE⊥平面ACC1A1.主页又DE⊂平面A1DE，故平面A1DE⊥平面ACC1A1.(2)解如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0)，A1(2,0，7)，D(－1，3，0)，E(－1,0,0)．易知A1D→＝(－3，3，－7)，DE→＝(0，－3，0)，AD→＝(－3，3，0)．设n＝(x，y，z)是平面A1DE的一个法向量，则n·DE→＝－3y＝0，n·A1D→＝－3x＋3y－7z＝0.解得x＝－73z，y＝0.主页故可取n＝(7，0，－3)．于是cos〈n，AD→〉＝n·AD→|n|·|AD→|＝－374×23＝－218.故直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为218.主页例3(2011·辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角Q—BP—C的余弦值．求二面角注意到DA、DP、DC两两垂直，因而可考虑建立空间直角坐标系求解．主页(1)证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，以AD、DP、DC所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D—xyz.依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则DQ→＝(1,1,0)，DC→＝(0,0,1)，PQ→＝(1，－1,0)．所以PQ→·DQ→＝0，PQ→·DC→＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.又DQ∩DC＝D，所以PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.主页(2)解依题意有B(1,0,1)，CB→＝(1,0,0)，BP→＝(－1,2，－1)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则n·CB→＝0，n·BP→＝0，即x＝0，－x＋2y－z＝0.因此可取n＝(0，－1，－2)．同理，设m是平面PBQ的法向量，则m·BP→＝0，m·PQ→＝0，可取m＝(1,1,1)．所以cos〈m，n〉＝－155.故二面角Q—BP—C的余弦值为－155.主页求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．探究提高主页如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝23，BC＝6.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)求二面角P—BD—A的大小．变式训练3(1)证明如图，建立坐标系，则A(0,0,0)，B(23，0,0)，C(23，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，∴AP→＝(0,0,3)，AC→＝(23，6,0)，BD→＝(－23，2,0)．主页∴BD→·AP→＝0，BD→·AC→＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC.又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.(2)解设平面ABD的法向量为m＝(0,0,1)，设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·BD→＝0，n·BP→＝0.∵BP→＝(－23，0,3)，∴－23x＋2y＝0，－23x＋3z＝0，解得y＝3x，z＝233x.主页令x＝3，则n＝(3，3,2)，∴cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝12.∴二面角P—BD—A的大小为60°.主页例4在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝23，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示.求点B到平面CMN的距离．求空间距离由平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC，BA＝BC，可知本题可以取AC中点O为坐标原点，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，用向量法求解．主页解取AC的中点O，连结OS、OB.∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC，又∵BO⊂平面ABC，∴SO⊥BO.如图所示，建立空间直角坐标系O—xyz，则B(0,23，0)，C(－2,0,0)，S(0,0,22)，M(1，3，0)，N(0，3，2)．主页∴CM→＝(3，3，0)，MN→＝(－1,0，2)，MB→＝(－1，3，0)．设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则CM→·n＝3x＋3y＝0MN→·n＝－x＋2z＝0，取z＝1，则x＝2，y＝－6，∴n＝(2，－6，1)．∴点B到平面CMN的距离d＝|n·MB→||n|＝423.主页点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法．如本题，事实上，作BH⊥平面CMN于H.由BH→＝BM→＋MH→及BH→·n＝n·BM→，∴|BH→·n|＝|n·BM→|＝|BH→|·|n|，∴|BH→|＝|n·BM→||n|，即d＝|n·BM→||n|.探究提高主页如图，