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主页一轮复习讲义命题及其关系、充分条件与必要条件主页1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，能够的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题否命题逆否命题要点梳理忆一忆知识要点判断真假若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p主页(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性关系．忆一忆知识要点逆命题逆否命题否命题没有相同要点梳理主页3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的．忆一忆知识要点必要条件充分条件充要条件要点梳理主页[难点正本疑点清源]1．用集合的观点，看充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A⊆B，且B⊆A，则p是q的既不充分也不必要条件．主页2．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．这就是常说的“正难则反”．主页例1以下关于命题的说法正确的有_______(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a0，则函数f(x)＝logax(a0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．四种命题的关系及真假判断主页根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断．主页对于①，若log2a0＝log21，则a1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数，因此①是假命题，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案②④主页(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．探究提高主页有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．变式训练1①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；①③②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．主页例2指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sinA＝sinB；(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.充分、必要、充要条件的概念与判断首先分清条件和结论，然后根据充要条件的定义进行判断．主页(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sinA＝sinB，反之，若sinA＝sinB，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条件．(2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，显然綈q⇒綈p，但綈p⇒綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件．(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但q⇒p，故p是q的充分不必要条件．//主页判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．探究提高主页给出下列命题：①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件．其中真．命题的序号是________．变式训练2主页对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列，但当数列{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；答案①④对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m＝3时，相应两条直线垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此③不正确；对于④，由题意得ba＝sinBsinA＝3，若B＝60°，则sinA＝12，注意到ba，故A＝30°，反之，当A＝30°时，有sinB＝32，由于ba，所以B＝60°或B＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.主页例3求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.充要条件的证明需证明充分性和必要性．证充分性时，可分a＝0，a0和0a≤1三种情况证明；证必要性，就是寻找方程有一个负根和两个负根的条件．证明充分性：当a＝0时，方程为2x＋1＝0，其根为x＝－12，方程有一个负根，符合题意．主页当a0时，Δ＝4－4a0，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，且1a0，方程有一正一负根，符合题意．当0a≤1时，Δ＝4－4a≥0，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，且－2a01a0，故方程有两个负根，符合题意．综上知：当a≤1时，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根．必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根．当a＝0时，方程为2x＋1＝0符合题意．主页当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0应有一正一负根或两个负根．则1a0或Δ＝4－4a≥0－2a01a0.解得a0或0a≤1.综上知：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一负根，则a≤1.故关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.主页(1)条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性．(2)证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．(3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论．探究提高主页已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.变式训练3证明充分性：当q＝－1时，a1＝S1＝p＋q＝p－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．当n＝1时也成立．于是an＋1an＝pn(p－1)pn－1(p－1)＝p(n∈N*)，即数列{an}为等比数列．主页必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.∵{an}为等比数列，∴a2a1＝an＋1an＝p，又S2＝a1＋a2＝p2＋q，∴a2＝p2－p＝p(p－1)，∴p(p－1)p＋q＝p，即p－1＝p＋q.∴q＝－1.综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．∵p≠0，p≠1，∴an＋1an＝pn(p－1)pn－1(p－1)＝p.必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.主页(14分)已知p：1－x－13≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．思想与方法等价转化思想在充要条件关系中的应用(1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．(2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论．审题视角主页规范解答方法一由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，[2分]∴綈q：A＝{x|x1＋m或x1－m，m0}，[4分]由1－x－13≤2，解得－2≤x≤10，[6分]主页∴綈p：B＝{x|x10或x－2}．[8分]即m≥9或m＞9即m≥9.[14分]∵綈p是綈q的必要而不充分条件．∴AB，即m0，1－m＜－2，1＋m≥10，或m＞0，1－m≤－2，1＋m＞10，主页方法二∵綈p是綈q的必要而不充分条件，∴p是q的充分而不必要条件，[2分]即m≥9或m＞9即m≥9.[14分]由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，[5分]由1－x－13≤2，解得－2≤x≤10，∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．[8分]∵p是q的充分而不必要条件，∴PQ，即m0，1－m－2，1＋m≥10，或m＞0，1－m≤－2，1＋m＞10，主页本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．批阅笔记主页1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或n个)作为大前提．2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的．方法与技巧主页3．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．方法与技巧主页1．否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论．要注意区别．2．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．失误与防范主页知识网络主页知识网络主页4.充分(必要、充要)条件的判别方法①分清条件与结论②找推式(尝试用条件推结论,再尝试用结论推条件）③下结论(指出条件是结论的什么条件）(1)定义法判断(2)集合法判断(利用集合之间的包含关系)(3)转化法判断(等价命题)(4)传递法判断从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围.忆一忆知识要点要点梳理