2013届高考文科数学一轮复习考案11.1 合情推理与演绎推理

§11.1合情推理与演绎推理真题探究考纲解读知识盘点典例精析例题备选命题预测基础拾遗技巧归纳考点考纲解读1合情推理了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.2演绎推理了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.3合情推理与演绎推理了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 归纳推理与类比推理是近年高考命题的热点.近年的试题,由特殊结论产生一般性命题再加以证明或是类比某些熟悉的概念,产生的类比推理型试题;从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,产生类比性质问题;类比方法,有一些处理问题的方法,具有类比性,结合这些方法产生类比型试题等,这些都是归纳推理与类比推理的常规命题方式.演绎推理是由一般到特殊的推理,在各类试题的解答过程中都涉及,任何一个解题过程的正确书写都是建立在三段论的基础上的.结合《考纲》预测2013年试题在合情推理与演绎推理的命题上,试题主要以填空题与解答题的形式考查,内容以常规题型为主,试题难度不大.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 一、合情推理1.推理的概念:根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程,叫做推理.推理一般由两个部分组成,前提和结论.推理一般分为合情推理与演绎推理两类.2.合情推理:所谓的合情推理,就是合乎情理的推理,数学中常见的合情推理是归纳推理与类比推理.3.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某种特征,推出该事物的全考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选部对象都具有这种特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简而言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).4.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些特征,推出另一类对象也具有这种特征的推理称为类比推理(简称类比).简而言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤是:考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).二、演绎推理1.演绎推理:从一般性的结论出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,也就是从一般到特殊的推理.2.三段论:“三段论”是演绎推理的一般形式,包括:(1)大前提——已知的一般性原理;考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)小前提——所研究的特殊情况;(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.三、合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理,从推理形式上看,归纳是由部分到整体、个别到一般的推理;类比是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待于进一步证明;而演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定是正确的.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2·an(n≥2),而a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想an等于 ()(A) .(B) .(C) .(D) .【解析】S2=22·a2,∴1+a2=4a2,∴a2= .S3=32·a3,∴1+ +a3=9a3,∴a3= .S4=42·a4,∴1+ + +a4=16a4,22(1)n2(1)nn221n221n131312313123考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选∴a4= .可见a1= ,a2= ,a3= ,a4= ,由此猜想an= .实际上,此题用a1=1代入选项验证最简单.【答案】B1252122232342452(1)nn考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选2.(2011年广东珠海质量检测)平面上有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,则这n个圆把平面分成的部分数为 ()(A)n2-n+2.(B)n2-2n+3.(C)2n2-n+1.(D)n2+n.【解析】先看一个圆,将平面分成两个部分;两个圆,将前面的两部分分成了四部分…设前一个圆把平面分成an个部分,后一个圆把平面分成an+1个部分,则an+1=an+2n,于是an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+2+4+…+2(n-1)=n2-n+2.【答案】A考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选3.(2011年广东中山第二次诊断性试题)把正整数按下图所示的规律排序,则从2003到2005的箭头方向依次为 ()【解析】由所给图示,得到箭头方向按1~4,5~8,9~12,…,进行循环的规律.由2004÷4=501,所以选B.【答案】B考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选4.(2011年广东中山一中月考题)下列是用类比法进行猜测的几个结论:①由“a=b⇒ac=bc”类比得到“ab⇒acbc”;②由“a(b+c)=ab+ac”类比得到“sin(A+B)=sinA+sinB”;③由“ = (a0,b0,c0)”类比得到“ = (a0,b0,c0)”;④由“分数的分子、分母同乘一个非零的数,分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子,分数值不变”.其中,正确结论的个数为 ()abcbaclg()lg()abcblglgac(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选【解析】当c≤0时,①类比的结论不正确;②的类比结论是学生刚学习三角时经常出现的错误;③类比的结论也是学生在学习对数时常犯的错误,这些是类比给我们带来的负作用;④类比的结论是正确的.故答案为B.【答案】B 考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选题型1归纳推理型问题 例1德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,就一个乒乓球;第2、3、4堆分别按如图所示方式固定摆放.从第一层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球总数,则f(3)=,f(n)=(答案用n表示).考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选【分析】由题意首先可以看出,第一堆有一层,第二堆有两层,第三堆有三层……第n堆有n层;再看每一层的球数,在看球数时,可以发现一个规律:第二堆最底层上方所有的球数正好与第一堆的球数相等,第三堆最底层上方所有的球数正好与第二堆的球数相等,第四堆最底层上方所有的球数正好与第三堆的球数相等.【解析】结合分析,可得f(3)=1+(1+2)+(1+2+3)=10,f(n)=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+…+(1+2+…+n)= .【答案】10 【点评】要找规律,一步一步地进行分析.本题中首先看层数与堆数的关系,再看前一堆与后一堆的关系,结论就产生了.(1)(2)6nnn(1)(2)6nnn考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练1一同学在电脑中打出如下图形( 表示空心圆, 表示实心圆),若将此若干个圆依此规律继续下去,得到一系列的圆,那么前2006个圆中实心圆的个数为.【解析】将这些圆分段处理,第一段两个圆,第二段三个圆,第三段四个圆……可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆.由2+3+…+62= ×61=19522006,而2+3+…+63= ×62=20152006,因此,共有61个实心圆.26222632【答案】61考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选题型2类比推理型问题 例2已知两个圆:x2+y2=1①与x2+(y-3)2=1②,则由①式减去②式可得两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例.试写出推广的命题.【分析】本题是由圆(特殊的)到圆(一般的)之间的类比,是数学研究中的一般化方法,即从特例中抽象出共同的特性.本题的关键之处是两圆半径必须相等.【解析】由圆方程(x-a)2+(y-b)2=r2①与(x-c)2+(y-d)2=r2②(a≠c或b≠d)相减,可得两圆的对称轴方程为2(c-a)x+2(d-b)y+a2+b2-c2-d2=0.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选【点评】本题是类比的数学方法,其实,一个好的数学方法绝不是解一个题,而是解一类题.由于这些题可能会分布在不同的章节之中,因此,就要求我们善于知识迁移,善于将这一好的方法类比到不同内容的问题之中.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练2在平面几何里有勾股定理:“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两垂直,则.”【解析】如图,作AE⊥CD于点E,连结BE,则BE⊥CD. = CD2·BE2= CD2(AB2+AE2)= (AC2+AD2)AB2+ CD2·AE2= + + .【答案】 = + + 2BCDS141414142ABCS2ADBS2ACDS2BCDS2ABCS2ADBS2ACDS考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选题型3演绎推理中的三段论问题 例3在△ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列,求证:△ABC是正三角形.【分析】本题的难度不大,抓住条件、紧盯结论就容易完成.【解析】由A、B、C成等差数列,得2B=A+C,又A+B+C=π,所以B= .由a、b、c成等比数列,得b2=ac,又b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,3考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选即(a-c)2=0,得a=c.由于有一个角是 的等腰三角形是等边三角形,故△ABC是正三角形.【点评】一个复杂问题的证明或推理,往往不是一次三段论就可以解决的,在证或推的过程中有时要多次使用三段论,由多个三段论的结论构成了所要证明的结果,有时从一个熟悉的大前提出发,产生一个结论,而这个结论又是下一步的小前提,依次递推下去,最终产生结果.本题中共四次使用了三段论:第一次,大前提“若x、y、z成等差数列,则2y=x+z”;小前提“三角3考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选形三内角A、B、C成等差数列,A+B+C=π”;结论“2B=A+C,所以B= ”.第二次,大前提“若x、y、z成等比数列,则y2=xz”;小前提“三角形的三边a、b、c成等比数列”;结论“b2=ac”.第三次,大前提“△ABC中,b2=a2+c2-2accosB”;小前提“△ABC中,B= ”;结论“b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c”.第四次,大前提“有一个角是 的等腰三角形是等边三角形”;小前提“△ABC中,B= ,a=c”;结论“△ABC是一个等边三角形”.3333考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练3空间四边形ABCD中,E、F分别是AB和CB的中点,G、H分别是CD和AD上的点,且 = = ,求证:EH、FG、BD三条直线相交于一