2015年高考数学理真题分类汇编：专题06 数列 Word版含解析

专题六数列1.【2015高考重庆，理2】在等差数列na中，若2a=4，4a=2，则6a=（）A、-1B、0C、1D、6【答案】B【解析】由等差数列的性质得64222240aaa，选B.【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题.2.【2015高考福建，理8】若,ab是函数20,0fxxpxqpq的两个不同的零点，且,,2ab这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于（）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解析】由韦达定理得abp，abq，则0,0ab，当,,2ab适当排序后成等比数列时，2必为等比中项，故4abq，4ba．当适当排序后成等差数列时，2必不是等差中项，当a是等差中项时，422aa，解得1a，4b；当4a是等差中项时，82aa，解得4a，1b，综上所述，5abp，所以pq9，选D．【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．3.【2015高考北京，理6】设na是等差数列.下列结论中正确的是（）A．若120aa，则230aaB．若130aa，则120aaC．若120aa，则213aaaD．若10a，则21230aaaa【答案】C【解析】先分析四个答案支，A举一反例1232,1,4aaa，120aa而230aa，A错误，B举同样反例1232,1,4aaa，130aa，而120aa，B错误，下面针对C进行研究，na是等差数列，若120aa，则10,a设公差为d，则0d，数列各项均为正，由于22215111()(2)aaaadaad22221111220aaddaadd，则2113aaa113aaa，选C.考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质的考查.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和比较法，本题属于基础题，由于前两个选项无法使用公式直接做出判断，因此学生可以利用举反例的方法进行排除，这需要学生不能死套公式，要灵活应对，作差法是比较大小常规方法，对判断第三个选择只很有效.4.【2015高考浙江，理3】已知{}na是等差数列，公差d不为零，前n项和是nS，若3a，4a，8a成等比数列，则（）A.140,0addSB.140,0addSC.140,0addSD.140,0addS【答案】B.【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的概念等知识点，同时考查了学生的运算求解能力，属于容易题，将1ad，4dS表示为只与公差d有关的表达式，即可求解，在解题过程中要注意等等差数列与等比数列概念以及相关公式的灵活运用.5.【2015高考安徽，理14】已知数列{}na是递增的等比数列，14239,8aaaa，则数列{}na的前n项和等于.【答案】21n【解析】由题意，14231498aaaaaa，解得141,8aa或者148,1aa，而数列{}na是递增的等比数列，所以141,8aa，即3418aqa，所以2q，因而数列{}na的前n项和1(1)1221112nnnnaqSq.【考点定位】1.等比数列的性质；2.等比数列的前n项和公式.【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是mnpq，则mnpqaaaa（等差数列），mnpqaaaa（等比数列）；②注意题目给定的限制条件，如本题中“递增”，说明1q；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前n项和公式等.6.【2015高考新课标2，理16】设nS是数列na的前n项和，且11a，11nnnaSS，则nS________．【答案】1n【解析】由已知得111nnnnnaSSSS，两边同时除以1nnSS，得1111nnSS，故数列1nS是以1为首项，1为公差的等差数列，则11(1)nSnn，所以1nSn．【考点定位】等差数列和递推关系．【名师点睛】本题考查数列递推式和等差数列通项公式，要搞清楚项na与nS的关系，从而转化为1nS与nS的递推式，并根据等差数列的定义判断1nS是等差数列，属于中档题．7.【2015高考广东，理10】在等差数列na中，若2576543aaaaa，则82aa=.【答案】10．【解析】因为na是等差数列，所以37462852aaaaaaa，345675525aaaaaa即55a，所以285210aaa，故应填入10．【考点定位】等差数列的性质．【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及其简单运算和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记*,,,mnpqaaaamnpqNmnpq且，*2,,2mnpaaamnpNmnp且及其熟练运用．8.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．【答案】5【解析】设数列的首项为1a，则12015210102020a，所以15a，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．【考点定位】等差中项．【名师点晴】本题主要考查的是等差中项，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“中位数”和“等差数列”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等差中项的概念，即若a，，b成等差数列，则称为a与b的等差中项，即2ab．9.【2015江苏高考，11】数列}{na满足11a，且11naann（*Nn），则数列}1{na的前10项和为【答案】2011【考点定位】数列通项，裂项求和【名师点晴】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，转化为特殊数列求通项．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.10.【2015江苏高考，20】（本小题满分16分）设1234,,,aaaa是各项为正数且公差为d(0)d的等差数列（1）证明：31242,2,2,2aaaa依次成等比数列；（2）是否存在1,ad，使得2341234,,,aaaa依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,ad及正整数,nk，使得knknknnaaaa342321,,,依次成等比数列，并说明理由.【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在【解析】试题分析（1）根据等比数列定义只需验证每一项与前一项的比值都为同一个不为零的常数即可（2）本题列式简单，变形较难，首先令1dta将二元问题转化为一元，再分别求解两个高次方程，利用消最高次的方法得到方程：27+430tt，无解，所以不存在（3）同（2）先令1dta将二元问题转化为一元，为降次，所以两边取对数，消去n,k得到关于t的一元方程4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)0tttttt，从而将方程的解转化为研究函数()4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)gttttttt零点情况，这个函数需要利用二次求导才可确定其在(0,)上无零点试题解析：（1）证明：因为112222nnnnaaada（1n，2，3）是同一个常数，所以12a，22a，32a，42a依次构成等比数列．（2）令1ada，则1a，2a，3a，4a分别为ad，a，ad，2ad（ad，2ad，0d）．假设存在1a，d，使得1a，22a，33a，44a依次构成等比数列，则34aadad，且6422adaad．令dta，则3111tt，且64112tt（112t，0t），化简得32220tt（），且21tt．将21tt代入（）式，21212313410tttttttt，则14t．显然14t不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在1a，d，使得1a，22a，33a，44a依次构成等比数列．（3）假设存在1a，d及正整数n，k，使得1na，2nka，23nka，34nka依次构成等比数列，则221112nknknaadad，且32211132nknknkadadad．分别在两个等式的两边同除以21nka及221nka，并令1dta（13t，0t），则22121nknktt，且32211312nknknkttt．将上述两个等式两边取对数，得2ln122ln1nktnkt，且ln13ln1322ln12nktnktnkt．化简得2ln12ln12ln1ln12kttntt，且3ln13ln13ln1ln13kttntt．令21tt，则212011213tttt．由1200000g，20t，知2t，1t，t，gt在1,03和0,上均单调．故gt只有唯一零点0t，即方程（）只有唯一解0t，故假设不成立．所以不存在1a，d及正整数n，k，使得1na，2nka，23nka，34nka依次构成等比数列．【考点定位】等差、等比数列的定义及性质，函数与方程【名师点晴】解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．11.【2015高考浙江，理20】已知数列na满足1a=12且1na=na-2na（n*N）（1）证明：112nnaa（n*N）；（2）设数列2na的前n项和为nS，证明112(2)2(1)nSnnn（n*N）.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.试题分析：（1）首先根据递推公式可得12na，再由递推公式变形可知211[1,2]1nnnnnnaaaaaa，从而得证；（2）由1111=nnnnaaaa和112nnaa得，11112nnaa，从而可得*111()2(1)2nanNnn，即可得证.试题解析：（1）由题意得，210nnnaaa，即1nnaa，12na，由11(1)nnnaaa得1211(1)(1)(1)0nnnaaaaa，由102na得，211[1,2]1nnnnnnaaaaaa，即112nnaa；（2）由题意得21nnnaa