2.1 集合论基础

授课教师：程文刚[e-mail]集合是数学中最基本的概念，又是数学各分支、自然科学及社会科学各领域的最普遍采用的描述工具。集合论是离散数学的重要组成部分，是现代数学中占有独特地位的一个分支。G.Cantor(康脱)是作为数学分支的集合论的奠基人。1870年前后，他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。1874年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立一一对应的有名的证明。1878年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。他提出了基数、序数、良序集合等集合理论，奠定了集合论的深厚基础。随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在1900年左右出现了各种悖论，使集合论的发展一度陷入僵滞的局面。第一个悖论是布拉利-福尔蒂的最大序数悖论。1901年罗素发现了有名的罗素悖论。1932年康脱也发表了关于最大基数的悖论。设集合S={A|A是集合，且AA}1.若SS，则S是集合S的元素，则根据S的定义，有SS，与假设矛盾；2.若SS，则S是不以自身为元素的集合，则根据S的定义，有SS，与假设矛盾；1904～1908年，策梅罗(Zermelo)列出了第一个集合论的公理系统，他的公理，使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到了统一，在此基础上以后就逐步形成了公理化集合论和抽象集合论，使该学科成为在数学中发展最为迅速的一个分支。◦集合论的现代公理化开始于1908年策梅罗所发表的一组公理，经过弗兰克尔的加工，这个系统称为策梅罗-弗兰克尔集合论（ZF），其中包括1904年策梅罗引入的选择公理。另外一种系统是冯·诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论。公理集合论中一个有名的猜想是连续统假设（CH）。哥德尔证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的相容性，科恩证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的独立性。现在把策梅罗-弗兰克尔集合论与选择公理一起称为ZFC系统。集合论是现代各科数学的基础。集合论的思想已渗透到古典分析、概率、函数论以及信息论、排队论等现代数学各领域。集合论的基础知识◦集合运算、性质、序偶、关系、函数和基数等（1）集合的基本概念（2）集合的基本运算与性质（3）集合的包含排斥原理（4）集合的笛卡儿积与无序积集合基本概念集合运算熟练掌握集合、集合的子集、包含、相等、空集、全集、幂集等概念及其符号化表示。深刻理解6种集合运算集合和元素集合表示方法子集、全集和空集基数幂集“所要讨论的一类对象的整体”；“具有同一性质单元的集体”“指某些可辨别的不同对象的全体”1、二十六个英文字母可以看成是一个集合；2、所有的自然数看成是一个集合；3、华电计算机05级的学生可以看成是一个集合；4、这间教室中的所有座位可以看成是一个集合。集合不能精确定义.集合可以描述为:一个集合把世间万物分成两类,一些对象属于该集合,是组成这个集合的成员,另一些对象不属于该集合.可以说,由于一个集合的存在,世上的对象可分辨地分成两类,世上任一对象或属于该集合或不属于该集合,二者必居其一也只居其一.组成一个集合的那些对象或单元称为这个集合的元素。通常一个集合中的元素都有相似的性质.集合通常用大写的英文字母A,B,C,…来标记元素通常用小写字母a,b,c,…来表示a是A的元素或a属于A，记作aA；a不属于A或a不是A的元素，记作aA，或者(aA)。设A是一个集合，a是集合A中的元素，记以aA，读作a属于A；若a不是集合A中的元素，则记以aA，读作a不属于A。例如：A是正偶数集合，则2A，8A，36A；而3A，9A，17A外延公理：两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。◦若A与B相等，记为A=B；否则，记为AB。外延公理可形式表为：A=B(x)(xAxB)或者A=B(x)(xAxB)(x)(xBxA)在应用外延公理证明集合A与B相等时，只需考察：对于任意元素x，应有下式xAxB成立即可。包含有限个元素的集合，称为有限集或有穷集(finiteset)；包含无限个元素的集合，称为无限集或无穷集(infiniteset)。例：所有英文字母组成的集合是有限集，整数集合是无限集。Nm={0,1,2,···,m-1}N={0,1,2,3,···}，即自然数集合。Z={···,-2,-1,0,1,2,3,···}，即整数集合。Z+={1,2,3,···}，即正整数集合。Q=有理数集合。R=实数集合。C=复数集合。枚举法谓词法（描述法）将集合中的元素一一列举，或列出足够多的元素以反映集合中元素的特征，◦例如：V={a,e,i,o,u}；B={1,4,9,16,25,36……}。用谓词公式来确定集合。即个体域中能使谓词公式为真的那些元素，确定了一个集合，因为这些元素都具有某种特殊性质。若P(x)含有一个自由变元的谓词公式，则{x|P(x)}定义了集合S，并可表为S={x|P(x)}由此可见，P(c)为真当且仅当cS。从而有xSxP(x)通过描述集合中元素的共同特征来表示集合，例如：V={x|x是元音字母}，B={x|x=a2,a是自然数}在用性质来描述集合时，可表述为概括原理或子集公理。子集公理：对于任给集合A和性质P，存在集合B，使得B中元素恰为A中满足P的那些元素。子集公理可形式地表为(B)(x)(xBxA(x))其中(x)为不含B自由出现。子集公理的提出，避免了悖论，使集合论得以存在和发展。用一个大的矩形表示全集，在矩形内画一些圆或其它的几何图形，来表示集合，有时也用一些点来表示集合中的特定元素。例如：集合V={a,e,i,o,u}，用文氏图表示如下:Eeauio①集合并不决定于它的元素展示方法。集合的元素被重复或重新排列，集合并不改变，即{a,a,e,i,o,u}={a,u,e,o,i}。但有时对重复出现的元素都认为是集合的元素，这种集合称为多重集。即{a,a,e,i,o,u,u}{a,e,i,o,u}。②集合的元素可以是具体事物，可以是抽象概念，也可以是集体，不是集合的元素称为本元。如，一本书，一支笔，集合{1,2,3}可以组成集合B={一本书，一支笔，{1,2,3}}。特别地，以集合为元素的集合称为集合族或集合类如A={{1,2,3},{8,9,6}}。③集合中元素之间可以有某种关联，也可以彼此毫无关系。子集是描述一个集合与另一个集合之间的关系，其定义如下。定义3.1.1设A和B是任意两个集合，如果集合A的每个元素，都是集合B中的一个元素，则称A是B的子集，或称A被包含于B中，或者说B包含A，并记为AB或BA。本定义也可表成AB(x)(xAxB)这表明，要证明AB，只需对任意元素x，有下式xAxB成立即可。若集合B不包含集合A，记为AB。集合A和集合B相等的充分必要条件是这两个集合互为子集。Tip:今后证明两个集合相等，主要利用这个互为子集的判定条件。定义3.1.2设A和B是两个集合，若AB且AB，则称A是B的真子集，记为AB，也称B真包含A。该定义也可表为AB(ABAB)思考：真子集的谓词公式表示方法？设A={2,4,6,8}，B={x|x是正偶数}，C={x|x是整数},则有AB，BC，AC,并且AB，BC，AC。定义3.1.3如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合，则称该集合为全集，记为U或E。它可形式地表为U={x|P(x)P(x)}其中P(x)为任何谓词公式。显然，全集U即是第二章中的全总论域。于是，每个元素x都属于全集U，即命题(x)(xU)为真。由定义易知，对任意集合A，都有AU。在实际应用中，常常把某个适当大的集合看成全集U。定义3.1.4没有任何元素的集合，称为空集，记为，它可形式地表为：={x|P(x)P(x)}其中P(x)为任何谓词公式。由定义可知，对任何集合A，有A。这是因为任意元素x，公式xxA总是为真(为什么？)。例◦{x|x∈R∧x2+1=0}是方程x2+1=0的实数解集，因为该方程无实数解，所以是空集。定理3.1.1空集是唯一的◦如何证明？定理3.1.2(ⅰ)对任一集合A，有AA（自反性）。(ⅱ)若AB且BC，则AC（传递性）。∈与的联系与区别。(1)∈表示集合的元素（可以为集合）与集合本身的从属关系，(2)表示两个集合之间的包含关系。是否存在集合A和B,使得AB且AB？若存在，请举一例。设A={a}，B={a,{a},b,c}，则有:AB且AB再例如：{}且{}表示集合中元素多少或度量集合大小的数，称作集合的基数或势。一个集合A的基数，记为|A|。一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合，即是由这些子集所组成的集合族。定义3.1.5设A为一集合，A的幂集是一集合族，记为P(A)，P(A)={B|BA}由定义可知，P(A)，AP(A)。问题：幂集的基数是多少？集合运算是指用已知的集合去生成新的集合。◦并集◦交集◦差集◦补集◦环和◦环积设A，B是两个集合。所有属于A或者属于B的元素做成的集合，称为A和B的并集，记以A∪B。即A∪B={x|xAVxB}例如，令A={a，b，c，d}，B={c，d，e，f}，于是A∪B={a，b，c，d，e，f}。A∪BAB设A，B是两个集合。由属于A又属于B的元素组成的集合，称为A和B的交集，记以A∩B。即A∩B={x|xAxB}例如，令A={a，b，c，d}，B={c，d，e，f}，于是A∩B={c，d}。ABA∩BAB设A1，A2，…，An是n个集合，则，A1∪A2∪…∪An，简记为A1∩A2∩…∩An，简记为niiA1iniA1设A，B是两个集合。由属于集合A而不属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的差集，记以A-B，或A\B。即A-B={x|xAxB}例如，令A={a，b，c，d}，B={c，d，e，f}，于是A-B={a，b}。ABA-B设A是一个集合，全集E与A的差集称为A的余集或补集，记以A。即A=E-A例如，令E={a，b，c，d，e，f}，A={b，c}，于是A={a，d，e，f}。特别，EEAA的补集设A，B是两个集合。则A与B的环和(对称差),记以AB,定义为AB=(A-B)∪(B-A)。A与B的对称差还有一个等价的定义，即AB=(A∪B)-(A∩B)。例：令A={a，b，c，d}，B={c，d，e，f}，于是AB={a，b，e，f}。ABAB设A，B是两个集合，则A与B的环积定义为AB=ABABE自学◦下节课考察集合基本概念集合运算包含排斥原理笛卡儿积Thankyou