2.1.1-2.1.2空间点线面的位置关系(优质课)

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系A1BD1C1DCB1A观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、地面之间的关系吗？长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系，是我们接下来要讨论的问题.1.平面的基本知识(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念，即为不加定义的原始概念.(2)平面的基本特征是无限延展性.平面是理想的，绝对的平（平面是处处平直的面）；平面没有大小、没有厚薄和宽窄，是不可度量的.光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果.思考:能不能说一个平面长4米,宽2米？为什么?不能.平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延展的，是没有边界的，是抽象出来的练习①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚；②有一个平面的长是50m，宽是20m；③黑板面是平面；④平面是绝对的平，没有大小、没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确的的说法是__________.④画法——立体几何中通常用平行四边形来表示平面，有时也用圆或三角形等图形来表示平面.画平面水平放置时，常把平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于邻边长的2倍.水平放置ß垂直放置为了增强立体感，如果一个平面被另一个平面遮挡住，常把它遮挡的部分用虚线画出来.(3)平面的画法及表示1.平面的基本知识画出两个竖直放置的相交平面.练习表示方法：ABCD①把希腊字母等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面，平面.,,②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD.③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC或者平面BD.(3)平面的画法及表示1.平面的基本知识(1)点、线、面的表示点(元素):大写字母A、B、C、D……直线(点的集合):小写英文字母或者两个大写英文字母平面(点的集合):用希腊字母表示；用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示.,,abc,,(2)点、线、面之间的位置关系的表示用集合中的关系符号元素与集合关系：集合与集合关系：,,;2.点、直线、平面的位置关系ABa点A在直线a上，记作点B不在直线a上，记作点A在平面α上，记作点B不在平面α上，记作ABα(1)点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：AaBaAB2.点、直线、平面的位置关系(3)直线与平面的位置关系：按公共点个数分三类②直线a与平面α有且只有一个公共点，称直线a与平面α相交.记为：③直线a与平面α没有公共点，称直线a与平面α平行.记为：αaαAaαa①直线a与平面α有无数个公共点，称直线a在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：aaA//aa或a注1：情况②和③统称为直线a在平面α外，记作2.点、直线、平面的位置关系(4)平面与平面的位置关系：按有否公共点分两类αβaβα①当两个不同平面α与平面β有公共点时，它们的公共点组成直线a，称平面α与平面β相交.记作：②当平面α与平面β没有公共点时，称平面α与平面β平行.记作：a//或注2：当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与平面β重合.αβ（当两个平面有不共线的三个公共点，则两个平面重合)2.点、直线、平面的位置关系小结：用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：BaααaαAbaAAB练习AaBaABαβaβααβabA//或aaa//或平面α与平面β重合,_)1(1A_A,_)2(1B_D1.正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面,分别记作，试用适当的符号填空．1111,,ACABBC、、)3()4(,__)5(11BA_11BA11BA1BB(6)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=A1B1C1D1O1ABCDOOO1练习BA,)1(ml,)2((3)lQlQPlP,,,)4(ABlPQ2.根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形．练习桌面αAB观察下列问题，你能得到什么结论？直尺落在桌面上（直线AB在平面α内）3.平面的基本性质,,且AlBlABl①图形语言：ABl(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线在此平面内.②符号语言：③该公理反映了直线与平面的位置关系：可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内.3.平面的基本性质思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？不会！因为平面是无限延展的.因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点，并且这些公共点在一条直线上.3.平面的基本性质且PlPlPl(2)公理3：若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线.①图形语言：②符号语言：③该公理反映了平面与平面的位置关系：i)该公理是用以判定两个平面相交的依据：只要两个平面有一个公共点，就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线.(找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可)ii)该公理可用以判定点在直线上：点是某两平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则该点在交线上.3.平面的基本性质(1)过一点可以做几条直线？两点呢？(2)过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？思考：backABC(3)公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.,,,,不共线有且只有一个平面，使得ABCABC①图形语言：②符号语言：③定义的说明：过不在一条直线上的四点，不一定有平面.故要充分重视“不在一条直线上的三点”这一条件；“有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面，不能用“只有一个”替代；确定一个平面的“确定”是“有且只有”的同义词.3.平面的基本性质推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.ABCa已知点Aa，求证过点A和直线a可以确定一个平面.3.平面的基本性质推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.baαabα推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.ABCa注3：公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据，是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.ABC公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.3.平面的基本性质思考：(1)不共面的四点可以确定多少个平面?(2)共点的三条直线可以确定多少个平面?4个1个或3个用符号表示在直线在平面外正确的是若那么直线与平面有个公共点请指出下列说法是否正确为什么空间三点确定一个平面平面与平面若有公共点就不止一个因为平面型斜屋面与地面不相交,所以屋面所在的平面(1),,()A.,B.,C.,D.A,(2),,,,___.(3)??1.2,.3AllAllAllAllllABAlBll与地面不相交.练习3.填空:(1)_________________的三点确定一个平面;(2)两条或直线确定一个平面;(3)有一个公共点的两个平面交于的一条直线.不在同一直线上平行相交唯一练习4.下列命题正确的是()A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D5.判断下列命题是否正确:(1)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点.(2)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.(3)经过两条相交直线,有且只有一个平面.(4)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合.×√√√练习backabced我们知道,在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?观察:将一张纸如图进行折叠,则各折痕及边a,b,c,d,e,…之间有何关系？a∥b∥c∥d∥e∥…'//','//'''BBAADDAABBDD观察：在右图的长方体中，，那么与平行吗？ABCDA'B'C'D'3.平面的基本性质符号表示:caabcc(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.aα//,////.abbcac①平行具有传递性；注4：②该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.3.平面的基本性质例在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线AB与C1D1，AD1与BC1是什么位置关系？为什么？解：C1ABCDA1B1D11）∵AB∥A1B1，C1D1∥A1B1，∴AB∥C1D12）∵AB∥C1D1，且AB=C1D1∴ABC1D1为平行四边形故AD1∥BC1练习：上例中，AA1与CC1，AC与A1C1的位置是什么关系？例已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：EFGH是一个平行四边形.问1:若上例加上条件AC=BD，则四边形EFGH是一个什么图形？“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法．∵EH是△ABD的中位线，∴EH∥FG且EH=FG．∴EFGH是一个平行四边形．证明：连结BD，同理，FG∥BD且FG=BD．12∴EH∥BD且EH=BD．12ABDEFGHC菱形“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法．,//,.//.,,1//.21//.2.EFAEBCAEBCABFEABEFABEFCDCDGEFDCEFDCEFDCABDCABABCD（1）证明:连接因为且所以四边形为平行四边形且又因为分别为棱边的中点为的中位线.且即且四边形为梯形ABCDEFGback4.点线共面问题(1)证明的主要依据：公理1；公理2及其三个推论.(2)证明的常用方法：①纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余有关的点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合.例证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.ABC已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C求证：直线AB，BC，AC共面.证明：因为AB∩AC=A，所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈，故BC.（公理1）因此直线AB，BC，CA共面.确定一个面，再证明其余线在该面内.4.点线共面问题练已知求证:直线,,共面.,,,D,ABCllADBDCDABCDl证明与确定平面:..DllD又,,,,,.ABCllABC又即共面.,,,,,DBDCDADADBDCD4.点线共面问题证明：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面.已知：a//b，a∩c=A，b∩c=B.求证：直线a，b，c共面.证明：因为a//b，所以直线a，b确定一个平面.（推论3）因为A∈a，B∈b，所以A∈，B∈.又因为A∈c，B∈c.故AB.（公理1）因此直线a，b，c共面.abcAB4.点线共面问题思考已知一条直线与三条平行直线都相交，证明这四条直线共面.abcABCl已知：a//b//c，a∩l=A，b∩l=B,c∩l=C.求证：直线l与a，b，c共面.证明：∵a//b，∴直线a，b确定一个平面.（推论3）∵l∩a=A，l∩b=B，∴A∈，B∈.又A∈l，B∈l，故l.同理，直线b，c确定一个平面，且l.∴平面与都过两相交直线b，l.又∵两相交直线确定一个唯一的平面.∴与重合.故l与a，b，c共面.证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.4.点线共面问题练已知a，b，a∩b=A，P∈b