3-格林函数法

计算电磁学基础1经典的格林函数法，又称为点源函数法或影响函数法。事实上，希尔伯特空间中的S-L系统（微分算子方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联系中我们可以引入格林函数的定义，同时，利用这些格林函数，也就将微分方程的表述转化为积分方程，进而得到问题的求解。格林函数与格林定理计算电磁学基础2•有源电磁场问题要求解非齐次波动方程，格林函数法是其中一种重要的求解方法。•格林函数表示单位强度的点源的产生的场，是非齐次波动方程的基本解。•在此基础上，可利用叠加原理求得任意分布的源所产生的场。•如果源的分布是未知的，也可借助格林函数建立积分方程，将求解非齐次波动方程转换为求解积分方程，从而有利于用数值方法对问题进行求解.确定论问题边值问题计算电磁学基础3格林函数法的主要特点是：1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和边界条件的局限），2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示，物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解问题；3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就转换为关键是求解点源的相对简单的问题。计算电磁学基础41、点电荷密度的δ函数表示(1)、函数,0)(x,1d)(VVx(x≠0)(积分区域V包含x=0点),)(x(x=0)函数---密度函数计算电磁学基础5(2)函数的一个重要性质若f(x)在x’点附近连续，则)(d)()(xxxxfVfV同理，若f(x)在原点附近连续，则)0(d)()(fVfVxx这一性质称为函数的选择特性。计算电磁学基础6处于原点上的单位点电荷的密度用函数(x)表示1d)(d)(VVVVxx(3)点电荷的电荷密度处于原点上的点电荷Q的密度可用Q(x)表示,即)()(xxQ,0)(xxQ,d)(QVQVxx(积分区域V包含x=x’点)(x≠x’点)处于x’点上的点电荷Q的密度可用Q(x-x’)表示,即)()(xxxQ计算电磁学基础72、格林函数引入•Green函数是与理想点源相联系的。–具体地说，Green函数是理想点源在给定边界条件下微分方程的解答。•用Green函数求解电磁场是场论中的重要方法之一。–当给定边界条件的Green函数比较容易求得时，利用Green函数计算分布场源的解答常常是方便的。–借助于有关点电荷的较简单的边值问题解决较复杂的边值问题。计算电磁学基础8qGrq0014rG41VGdV01静态场时，位于原点的点电荷q在自由空间产生的标量电位为式中，，G为静态场的自由空间Green函数。上式表明，格林函数G将电荷与电位联系起来。利用格林函数，分布电荷的标量位为场与源电荷源计算电磁学基础9GlIdrelIdAjkr4GldIreldIAmjkrmm4reGjkr4时谐场中，位于原点的电流元Idl在自由空间产生的矢量磁位为位于原点的磁流元Imdl在自由空间产生的矢量电位为式中，G为交变场中的自由空间格林函数。利用格林函数，分布电流和磁流的矢量位为VmmVGdVJAGdVJA电流源计算电磁学基础103、格林函数的一般概念•定义：纯点源产生的场–（不计初始条件和边界条件的影响）。–例子：•ΔG=δ(r-r’)，G|Γ=0•(t–a2Δ)G=δ(r-r’)δ(t-t’)，G|Γ=G|t=0=0–一般形式•LG(xi)=δ(xi-xi’)•G|边界=G|初始=0计算电磁学基础11•分类：–按泛定方程可以分为：•稳定问题的格林函数L=Δ•热传导问题的格林函数L=(t–a2Δ)•波动问题的格林函数L=(tt–a2Δ)–按边界条件可以分为•无界空间的格林函数，又称为基本解；•齐次边界条件的格林函数。计算电磁学基础12格林函数稳定问题ΔG=δ(r-r’)输运问题(t–a2Δ)G=δ(r-r’)δ(t-t’)G|t=0=0波动问题(tt–a2Δ)G=δ(r-r’)δ(t-t’)G|t=0=0Gt|t=0=0无界空间泊松方程的基本解热传导方程的基本解波动方程的基本解齐次边界G|Γ=0泊松方程的格林函数热传导方程的格林函数波动方程的格林函数计算电磁学基础13•性质：–设数学物理方程为Lu(x)=f(x)–而格林函数方程为LG(x)=δ(x-x’)–在相同的齐次定解条件下–因为：f(x)=∫f(x’)δ(x-x’)dx’–所以：u(x)=∫f(x’)G(x-x’)dx’•应用（求解数学物理方程的格林函数法）–范围：非齐次泛定方程、齐次定解条件–程序：先求出对应的格林函数，再积分得待求函数格林函数是为了求解实际问题的泊松方程而找到的特殊函数，不同的实际问题对应不同的格林函数。计算电磁学基础144、稳定问题的基本解原问题点源问题点电荷电场方程解)(rfu)'(rrG0/)'(rrqV|'|40rrqV|'|41rrG|'|4')'(rrdrfu稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到计算电磁学基础15原问题0|)(urfu点源问题0|)'(GrrG关系')',()'()(')'()'()(drrGrfrudrrrfrf基本思路计算电磁学基础16•求解方法•稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到。•点源问题可以看成接地的导体边界内在r’处有一个电量为-ε0的点电荷。•边界内部的电场由点电荷与导体中的感应电荷共同产生。•在一些情况下，导体中所有感应电荷的作用可以用一个设想的等效电荷来代替，该等效电荷称为点电荷的电像。•这种方法称为电像法计算电磁学基础17•例题在半空间内求解稳定问题的格林函数0|0),'()'()'(0zGzzzyyxxG解：根据题目，定解问题为这相当于在接地导体平面上方点M(x’,y’,z’)处放置一个电量为-0的点电荷，求电势。设想在M的对称点N(x’,y’,-z’)处放置一个电量为+ε0的点电荷，容易看出在平面z=0上电势为零，这表明在N点的点电荷就是电像。计算电磁学基础18||141|'|141)',(NrrrrrrG根据点电荷的电势公式，我们不难得到格林函数222222)'()'()'(141)'()'()'(141zzyyxxzzyyxx计算电磁学基础19一个处于x'点上的单位点电荷所激发的电势满足泊松方程)(1)(02xxx若方程的解满足第一类边界条件，则方程的解就叫做第一类边值问题的格林函数。5、泊松方程格林函数0S若方程的解满足第二类边界条件则方程的解就叫做第二类边值问题的格林函数。，SnS01格林函数一般用G表示，则G所满足的微分方程为：)(1),(02xxxxG计算电磁学基础20格林函数与实际问题的对应关系：格林函数:实际问题:求解区域V内：已知ρ(x’))(xx方程：)(1)(02xx)(1),(02xxxxG边界S上：S0SGSn已知令令已知，SnGS01计算电磁学基础21在无界空间中x’点上放一个单位点电荷，激发的电22200)'()'()'(4141)(zzyyxxrx因此，无界空间的格林函数为2220)'()'()'(41),(zzyyxxGxx常见的几个格林函数：（1）无界空间的格林函数。势为:计算电磁学基础22当Q＝1时，可得上半空间第一类边值问题的格林函数。2220)'()'()'(1[41),(zzyyxxGxx])'()'()'(1222zzyyxx以导体平面上任一点为坐标原点，设点电荷所在点的坐标为(x’,y’,z’)，场点坐标为(x,y,z)，上半空间格林函数为：（2）上半空间的格林函数。计算电磁学基础23（3）球外空间的格林函数。以球心O为坐标原点。设电荷所在点P’的坐标为R’，场点P的坐标为R。yzxRR'R0xxrr'αθθ'o计算电磁学基础242120402202122cos21|)(|cos2||)cos(sinsincoscoscosRRRRRRRRRrRRRRrxxxx])cos2)((1)cos2(1[41)(21202021220RRRRRRRRRRGxx其中：根据镜象法得222zyxR222zyxR计算电磁学基础25由上分析可知，一般自由空间格林函数为标量，量纲为1/m。它们将电荷、电流和电位、磁位联系起来。在线性系统理论中，系统的冲击响应函数具有非常重要的地位。在某种意义上，格林函数具备系统冲击响应函数的特征。因此许多近代电磁场问题可以借助于格林函数，采用线性系统理论的方法来分析。计算电磁学基础26•对应用高斯定理，可得标量第一格林定理•第一格林定理相减，可得标量第二格林定理22VSdVdSnn22VSdVdS或6、标量格林公式计算电磁学基础277、矢量格林公式•对区域V中任意两个矢量场P和Q，对P×(D×Q)应用高斯定理，可得矢量第一格林定理•若将第一格林定理相减，即得矢量第二格林定理VSdVdPQPQPQSVSdVdQPPQPQQPS计算电磁学基础28•格林定理说明区域中的场与边界上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。•此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。计算电磁学基础29先考虑第一类边值问题，设V内有电荷分布ρ，边界S上给定电势|s，求V内的电势(x)。设区域内有两个函数(x)和(x)，格林公式:SVSnnV)d(d)(22取(x)为实际问题的解，满足泊松方程0218、格林公式与边值问题的解计算电磁学基础30取(x)为格林函数G(x,x’)，将x与x’互换，则有VGGVd)],()()(),([22xxxxxxSGnnGSd)],()()(),([xxxxxxVVGd)(),()(xxxxSGnnGSd)],()(),([0xxxxx这就是用Green函数求解静电问题的一种形式解。计算电磁学基础31所以第一类边值问题的解为SGnVGSVd),()(d)(),()(0xxxxxxx－由这公式，只要知道格林函数G(x,x’)，在给定边界上的|s值情形下就可算出区域内的(x)，因而第一类边值问题完全解决。在第一类边值问题中，格林函数满足边界条件0),(SGxx计算电磁学基础32对第二类边值问题，由于G(x,x’)是x’点上单位点电荷所产生的电势，其电场通量在边界面S上应等于1/0，即01d),(SGnSxx满足上式的最简单的边界条件是SGnS01,xxxVVGd)(),()(xxxxSGnnGSd)],()(),([0xxxxx计算电磁学基础33所以，第二类边值问题的解VVGd)(),()(xxxx其中s是电势在界面S上的平均值。SSSnGd)(