2016中考复习备战_一元二次方程

第7讲一元二次方程考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程，一元二次方程的标准形式是ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数，且a≠0).考点一一元二次方程的定义考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．直接开平方法：如果x2＝a(a≥0)，则x＝±a，即x1＝a，x2＝－a.2．配方法：如果x2＋px＋q＝0且p2－4q≥0，则x＋p22＝－q＋p22.x1＝－p2＋－q＋p22，x2＝－p2－－q＋p22.考点二一元二次方程的解法考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练3．公式法：如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0，则x1,2＝－b±b2－4ac2a.4．因式分解法：若方程ax2＋bx＋c＝(ex＋f)(mx＋n)(a≠0)，则ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－fe，x2＝－nm.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练温馨提示解一元二次方程时，要根据方程的特点灵活选择合适的方法，一般顺序为：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法.公式法和配方法可以解所有判别式大于或等于0的一元二次方程.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac，一般用符号Δ表示．(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根，即x1,2＝－b±b2－4ac2a；考点三一元二次方程根的判别式考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练(2)b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－b2a；(3)b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．温馨提示一元一次方程没有根的判别式.因此，在逆用判别式时，一定要保证二次项系数不等于零.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，分别为x1，x2，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.2．(简易形式)若关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个实数根，分别为x1，x2，则x1＋x2＝－p，x1x2＝q.考点四一元二次方程根与系数的关系考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练温馨提示1.首先把一元二次方程化成一般形式，再利用根与系数的关系.2.在应用根与系数的关系时，一定要保证一元二次方程有实数根.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练列一元二次方程解应用题的步骤和列一次方程(组)解应用题的步骤相同，即审、设、找、列、解、检、答六步．考点五列一元二次方程解应用题考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点一一元二次方程的解例1(2013·安顺)已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为()A．1B．－1C．2D．－2【点拨】利用代入法，把x＝3代入x2－kx－6＝0，得到32－3k－6＝0，解得k＝1.故选A.【答案】A考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点二一元二次方程的解法例2(2013·义乌)解方程：x2－2x－1＝0.【点拨】本题考查一元二次方程的解法，适合采用公式法．考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解：∵a＝1，b＝－2，c＝－1，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0,∴x＝2±82×1＝2±222＝1±2.即x1＝1－2，x2＝1＋2.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结在一元二次方程的四种解法中，优先选择顺序依次为：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点三一元二次方程根的判别式例3(2013·张家界)若关于x的一元二次方程kx2＋4x＋3＝0有实数根，则k的非负整数值是_______．【点拨】∵一元二次方程有实根，∴b2－4ac＝42－4×3×k≥0，∴k≤43.又∵k≠0，∴k≤43且k≠0.∴满足条件的非负整数值是1.【答案】1考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结若一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，切勿丢掉等号.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点四一元二次方程根与系数的关系例4(2013·荆州)已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x＋2(k－1)＝0.(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根；(2)若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1－x2|＝2，求k的值．【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解：(1)证明：①当k＝0时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠0时，方程是一元二次方程，∵Δ＝[－(3k－1)]2－4k·2(k－1)＝k2－2k＋1＝(k＋1)2≥0，∴无论k为何实数，方程总有实数根．考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练(2)由根与系数关系，得x1＋x2＝3k－1k，x1x2＝2k－1k，∵|x1－x2|＝2，∴(x1－x2)2＝4，即(x1＋x2)2－4x1x2＝4，故(3k－1k)2－8k－1k＝4.整理，得3k2－2k－1＝0.解得k1＝1，k2＝－13.经检验，k1＝1，k2＝－13都是原分式方程的解，∴k1＝1，k2＝－13.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结要求关于x1和x2的某个代数式的值，先把这个代数式变形为x1＋x2和x1x2表达的式子，再把x1＋x2和x1x2的值整体代入；若给出了关于x1和x2的某个代数式的值或范围，要求系数中的未知字母的值或范围，先把这个代数式变形为用x1＋x2和x1x2表达的式子，然后根据所给的值或取值范围，构造方程或不等式解决，若二次项系数中有字母，要注意二次项系数不为0.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是(B)A．1B．－1C．0D．无法确定解析：把x＝1代入(m－1)x2＋x＋1＝0，得(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此时m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选B.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练2．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为(D)A．(x＋2)2＝1B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9D．(x－2)2＝9解析：∵x2－4x＝5，∴x2－4x＋4＝5＋4，∴(x－2)2＝9.故选D.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练3．方程(k－1)x2－1－kx＋14＝0有两个实数根，则k的取值范围是(D)A．k≥1B．k≤1C．k1D．k1解析：∵方程(k－1)x2－1－kx＋14＝0有两个实数根，∴k－1≠0,1－k≥0，Δ＝(－1－k)2－4(k－1)·14≥0，联立得k－1≠0，1－k≥0，－1－k2－4k－1·14≥0，解得k≠1，k≤1.∴k1.故选D.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练4．当方程x(x＋1)＝5(x＋1)的解是x1＝－1，x2＝5.解析：当x＋1＝0时，x＝－1；当x＋1≠0时，x＝5.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练5．设a，b是x2＋x－2013＝0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b＝2012.解析：∵a，b是x2＋x－2013＝0的两个不相等的实数根，∴a2＋a＝2013，a＋b＝－1.∴a2＋2a＋b＝(a2＋a)＋(a＋b)＝2013－1＝2012.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练6．已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根分别为a，b，则1a＋1b的值是－65.解析：由根与系数的关系，得a＋b＝6，ab＝－5.所以1a＋1b＝a＋bab＝6－5＝－65.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练7．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是25%.解析：设平均每月增长的百分率为x，则由题意可列方程160(1＋x)2＝250，解得x＝0.25.故平均每月增长的百分率为25%.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练8．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值．解：∵一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有两个实数根，∴Δ＝42－4·2k＝16－8k≥0，∴k≤2.∴k的非负整数值为0,1,2.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点训练考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练一、选择题(每小题3分，共30分)1．(2013·兰州)用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为(D)A．(x＋1)2＝0B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2D．(x－1)2＝22．(2013·雅安)已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1＋x2的值是(B)A．0B．2C.－2D．4考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练3．(2013·福州)下列一元二次方程有两个相等实数根的是(C)A．x2＋3＝0B．x2＋2x＝0C．(x＋1)2＝0D．(x＋3)(x－1)＝0考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练4．(2013·黄冈)已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为(C)A．2B．3C．4D．8解析：设另一根为x1，由根与系数的关系，得2＋x1＝6，x1＝4.故选C.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练5．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的两根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，则a，b的值分别是(D)A．a＝－3，b＝1B．a＝3，b＝1C．a＝－32，b＝－1D．a＝－32，b＝1解析：由根与系数的关系，得x1＋x2＝－2a，x1x2＝b，∴a＝－32，b＝1.故选D.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练6．(2013·滨州)对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为(C)A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定解析：∵b2－4ac＝4(k＋1)2－4×1×(－k2＋2k－1)＝8k2＋8＞0，∴这个方程有两个不相等的实数根.故选C.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练7．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为(A)A．－1B．0C．1D．－1或1解析：由题意，得a－1≠0，|a|－1＝0，解得a＝－1.故选A.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练8．如果关于x的一元二次方程kx2－2k＋1x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是(D)A．k＜12B．k＜12且k≠0C．－12≤k＜12D．－12≤k＜12且k≠0考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解析：由题意，得k≠0，2k＋1≥0，－2k＋12－4k＞0，解得－12≤k＜12且k≠0.故选D.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练9．(2013·日照)已知一元二次方程x2－x－3＝0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是(A)A．－2＜x1＜－1B．－3＜x1＜－2C．2＜x1＜3D．－1＜x1＜0考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解析：在x2－x－3＝0中，b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－3)＝13＞0，∴x＝1±132×1＝1±132，∴较小根x1＝1－132.∵3＜13＜4，∴－32＜1－132＜－1.故选A.考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练10．(2013·湛江)由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降，由原来每斤12元，连续两次降价a%后售价下调到每斤5元，下列所列的方程中正确的是(B)