第五节洛朗级数展开

1二.双边幂级数其中nnnnnnnzzazzazzazzaazzazzazza)()()()()()()(00202010101202000)(nnnzza被称为双边幂级数的正幂部分10)(nnnzza被称为双边幂级数的负幂部分2三.收敛环的确定设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2，则其在|z-z0|R2外收敛。如果R2R1，那么双边幂级数就在环状域R2|z-z0|R1内收敛，所以R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛。300)(nnnzza正幂部分10)(nnnzza负幂部分R2R1z0R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|收敛环R2|z-z0|R101zz4,2,12110kdzfiaCkk其中,0kknzzazf可展开成为幂级数上任一点内单值解析，则对环域在设定理)(z,102zfRzzRzf并且展开式唯一积分路径C为位于环域内按逆时针方向饶内圆一周的任一闭合曲线.四.洛朗定理5证明:1RC1RC2RC2RC1R2RC为了避免讨论在圆周上函数的解析性及级数的收敛性问题,将外圆稍微缩小为,内圆稍微扩大为,如图1RC2RC应用复通区域上的柯西公式有21)(21)(21)(RRCCdzfidzfizf下面将展开为幂级数,对于沿的积分,展开如下:z11RC0100)()(1kkkzzzz而对于沿的积分,考虑到2RC00zzz用以下方法将其展开60100000000000)()()()(1111)()(11llllllzzzzzzzzzzzzzzzzz21)(21)(21)(RRCCdzfidzfizf把分别沿和的展开式代入下式,然后逐项积分可得1RC2RC21)()(21)()()(21)()(00)1(01000RRClllCkkkdfzizzdzfizzzf把第二部分中的k=-(l+1)代替l作为求和指标,并根据柯西定理7把积分回路改为1RC可得kkkzzazf)()(0其中CkCkkdzfidzfiaR1010)()(21)()(211C为环域内沿逆时针方向饶内圆一周的任一闭回线,上式称之为f(z)的洛朗展开,右端的级数称为洛朗级数说明:(1)虽然级数中含有z-z0的负幂项,而这些项在z=z0时都是奇异的,但点z0可能是也可能不是函数f(z)的奇点(2)虽然展开系数ak的公式与泰勒展开系数ak的公式形式相同,但这里!/)(0)(kzfakk不论z0是不是f(z)奇点.如果是奇点,则)(0)(zfk根本不存在8如果z0不是奇点,则)(0)(zfk!/)(0)(kzfk因为dzfikzfCkk100)()()(2!)(成立的条件是以C为边界的区域上f(z)解析,但现在区域上有f(z)的奇点,(如果没有奇点,就不用考虑洛朗级数的展开)不是z0(3)如果只有环心z0是f(z)的奇点,则内圆半径可以任意小,同时z可以无限接近z0,这个时候称为f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内的洛朗级数展开式,这种情况特别重要,以后将利用它研究函数在孤立奇点附近的性质.(4)洛朗级数展开式也是唯一的,这点和泰勒级数是一致的,此唯一性使得可用不同的方法求得环域上解析函数的洛朗展开式存在,但仍然不等于ka9例1:在z0=0的邻域上把(sinz)/z展开解:函数(sinz)/z在原点没有定义,z0=0是奇点引用sinz在原点的邻域上的展开式:)...(!7!5!3!1sin753zzzzzz同时为了避开奇点,从复平面挖去奇点,在挖去奇点的复数平面上用z遍除sinz的展开式,就得到(sinz)/z的展开式)0...(!7!5!31sin642zzzzzz如果我们定义一个函数f(z)如下:)0(1sinlim)0(sin)(0zzzzzzzfz10则f(z)在整个开平面上是解析的,由上我们可得到f(z)在z0=0的邻域上的展开式:)...(!7!5!31)(642zzzzzf同时也是解析函数f(z)的泰勒级数!例2:解:在的环域上将函数f(z)=1/(z2-1)展开为洛朗级数||1z22222460211111111...111kkzzzzzzzz在展开式中出现无限多负幂次项,但z=0本身不是函数的奇点奇点为z=士111例3:在z0=1的邻域上把f(z)=1/(z2-1)展开为洛朗级数解:先把f(z)分解为分项公式11211121)1)(1(1)(zzzzzf第二项只有一个奇点z=-1,因此可在z0=1的邻域|z-1|2上可以展为泰勒级数如下:)21(21)1(412/)1(11412)1(12111210zzzzzkkk由此我们可得)210(121)1(112111022zzzzkkkk展开式里边出现了-1次项12例4:解:)|...(|!31!21!111!1320zzzzzkekkz我们知道ex在原点邻域上的展开式为把z全换成1/z,可得到以下结果:)|1...(|1!311!211!1111!13201zzzzzkekkz即|)|0()!(101zzkekkz这里出现无限多负幂项.在z0=0的邻域上把展开为洛朗级数ze/113例5:解:在z0=0的邻域上把展开为洛朗级数)1(21zzxe由前边的结论我们可得绝对收敛级数)|(|21!1021zxzlellxz|)|0(121!10121zzxnennzx以上两个绝对收敛级数可以逐项相乘,乘积中既有无限多正幂项又有无限多负幂项,为了得到乘积中某个正幂zm0m(1)(2)应取(2)中所有各项分别用(1)中的l=n+m项去乘,为得到某个负幂项z-h0h应取(1)中所有项而分别用(2)中的n=l+h项去乘,由此可以得到以下结果:14)||0(2)!(!)1()1(2!)!()1(102002)1(21zzxhllzxnnmehhllhlhmmnnmnzzx将-h记为m,l记为n,则有)||0(2|)!|(!)1()1(2!)!()1(102||002)1(21zzxmnnzxnnmemmnnmnmmmnnmnzzx利用贝塞尔函数可以把上式写成mmmzzxzxJe)()1(21中括号里边是m阶贝塞尔函数Jm(x)15z2iiiz1iiz0i;2;1211展开成洛朗级数试把例zzzf.zzzf2111i解z-11nzzz21z212121z.zzznn22212122zf42121122zzzz2874321zz1216z2iiiz1iiz0i;2;1211展开成洛朗级数试把例zzzf,zzzf2111ii解z-11zz11121111zzzz212121z.zzznn22212122zf842111121zzzzznn1217z2iiiz1iiz0i;2;1211展开成洛朗级数试把例zzzf,zzzf2111iii解z-11zz11121111zzzz21zz211.zzz2421133z21zzf47z1218的洛朗级数关于例：求1211zzzzf12111z21z21111zz111zzf211111zzz时，110z时，11z21z111z21111111zzz11111zzzf321111zz解19内展成洛朗级数。在把例zezzfz0133zzf32312111z!z!zz!!!zzz4131223解应当指出,根据定理公式直接求一个函数的洛朗级数是很困难的必须计算无穷多个积分才能得到,而不能像泰勒级数通过求导得到,但是根据洛朗级数的唯一性,可以利用已知函数如)1(1,1ln,cos,sin,mzzzzemz等的泰勒展开式和幂级数的运算,特别是代数运算,变量代换,求导和积分等方法求一些初等函数在指定圆环内的洛朗级数,直接利用公式只是个别情况!