高等数学练习答案10-6

1061利用高斯公式计算曲面积分(1)dxdyzdzdxydydzx222其中为平面x0y0z0xayaza所围成的立体的表面的外侧解由高斯公式原式dvzyxdvzRyQxP)(2)(aaaadzdyxdxxdv0400366(这里用了对称性)(2)dxdyzdzdxydydzx333其中为球面x2y2z2a2的外侧解由高斯公式原式dvzyxdvzRyQxP)(3)(22220004sin3adrrdd5512a(3)dxdyzyxydzdxzyxdydzxz)2()(2322其中为上半球体x2y2a22220yxaz的表面外侧解由高斯公式原式dvyxzdzRyQxP)()(2222020022sinadrrrdd552a(4)zdxdyydzdxxdydz其中界于z0和z3之间的圆柱体x2+y29的整个表面的外侧解由高斯公式原式813)(dvdvzRyQxP(5)yzdxdydzdxyxzdydz24其中为平面x0y0z0x1y1z1所围成的立体的全表面的外侧解由高斯公式原式dvyyzdvzRyQxP)24()(10101023)4(dzyzdydx2求下列向量A穿过曲面流向指定侧的通量(1)Ayzi+xzj+xyk为圆柱xy2a2(0zh)的全表面流向外侧解PyzQxzRxyxydxdyxzdzdxyzdydzdvzxyyxzxyz))()()((00dv(2)A(2xz)ix2yjxz2k为立方体0xa0ya0za的全表面流向外侧解P2xzQx2yRxz2RdxdyQdzdxPdydzdvxzxdvzryQxP)22()(2aaaaadzxzxdydx023200)62()22((3)A(2x3z)i(xzy)j(y22z)k是以点(312)为球心半径R3的球面流向外侧解P2x3zQ(xzy)Ry22zRdxdyQdzdxPdydzdvdvzRyQxP)212()(1083dv3求下列向量A的散度(1)A(x2yz)i(y2xz)j(z2xy)k解Px2+yzQy2xzRz2xy)(2222divzyxzyxzRyQxPA(2)Aexyicos(xy)jcos(xz2)k解PexyQcos(xy)Rcos(xz2))sin(2sindiv2xzxzxyxyezRyQxPxyA(3)Ay2zixyjxzk解Py2QxyRxzxxxzRyQxP20divA4设u(xyz)、v(xyz)是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数nunv依次表示u(xyz)、v(xyz)沿的外法线方向的方向导数证明dSnuvnvudxdydzuvvu)()其中是空间闭区间的整个边界曲面这个公式叫作林第二公式证明由第一格林公式(见书中例3)知dxdydzzvyvxvu)(222222dxdydzzvzuyvyuxvxudSnvu)(dxdydzzuyuxuv)(222222dxdydzzvzuyvyuxvxudSnuv)(将上面两个式子相减即得dxdydzuyuxuvzvyvxvu)]()([222222222222dSnuvnvu)(5利用高斯公式推证阿基米德原理浸没在液体中所受液体的压力的合力(即浮力)的方向铅直向上大小等于这物体所排开的液体的重力证明取液面为xOy面z轴沿铅直向下设液体的密度为在物体表面上取元素dS上一点并设在点(xyz)处的外法线的方向余弦为coscoscos则dS所受液体的压力在坐标轴xyz上的分量分别为zcosdSzcosdSzcosdS所受的压力利用高斯公式进行计算得00cosdvdSzFx00cosdvdSzFy||cosdvdvdSzFz其中||为物体的体积因此在液体中的物体所受液体的压力的合力其方向铅直向上大小等于这物体所排开的液体所受的重力即阿基米德原理得证